(x-3)^3=-512 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-3)^3=-512

    Решение

    Вы ввели [src]
           3       
    (x - 3)  = -512
    (x3)3=512\left(x - 3\right)^{3} = -512
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (x3)3=512\left(x - 3\right)^{3} = -512
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x3)33=5123\sqrt[3]{\left(1 x - 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{-512}
    или
    x3=813x - 3 = 8 \sqrt[3]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    -3 + x = -8*1^1/3

    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    x=3+813x = 3 + 8 \sqrt[3]{-1}
    Получим ответ: x = 3 + 8*(-1)^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=x3z = x - 3
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=512z^{3} = -512
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=512r^{3} e^{3 i p} = -512
    где
    r=8r = 8
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = -1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=8z_{1} = -8
    z2=443iz_{2} = 4 - 4 \sqrt{3} i
    z3=4+43iz_{3} = 4 + 4 \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    z=x3z = x - 3
    x=z+3x = z + 3

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=5x_{1} = -5
    x2=743ix_{2} = 7 - 4 \sqrt{3} i
    x3=7+43ix_{3} = 7 + 4 \sqrt{3} i
    График
    -22.5-20.0-17.5-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.57.50.02.55.0-100005000
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -5
    x1=5x_{1} = -5
                   ___
    x2 = 7 - 4*I*\/ 3 
    x2=743ix_{2} = 7 - 4 \sqrt{3} i
                   ___
    x3 = 7 + 4*I*\/ 3 
    x3=7+43ix_{3} = 7 + 4 \sqrt{3} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                      ___             ___
    0 - 5 + 7 - 4*I*\/ 3  + 7 + 4*I*\/ 3 
    ((5+0)+(743i))+(7+43i)\left(\left(-5 + 0\right) + \left(7 - 4 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(7 + 4 \sqrt{3} i\right)
    =
    9
    99
    произведение
         /          ___\ /          ___\
    1*-5*\7 - 4*I*\/ 3 /*\7 + 4*I*\/ 3 /
    1(5)(743i)(7+43i)1 \left(-5\right) \left(7 - 4 \sqrt{3} i\right) \left(7 + 4 \sqrt{3} i\right)
    =
    -485
    485-485
    Численный ответ [src]
    x1 = -5.0
    x2 = 7.0 + 6.92820323027551*i
    x3 = 7.0 - 6.92820323027551*i
    График
    (x-3)^3=-512 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/c/73/a3882ccee611b001db2aec6025be2.png