x + 1/x = a (уравнение)

Найду корень уравнения: x + 1/x = a

Вы ввели

    1    
x + - = a
    x    

$$x + \frac{1}{x} = a$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x + \frac{1}{x} = a$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + \frac{1}{x}\right) = a x$$
$$x^{2} + 1 = a x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 1 = a x$$
в
$$- a x + x^{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - a$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-a)^2 - 4 * (1) * (1) = -4 + a^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4}}{2}$$

Быстрый ответ

               /            ___________________________________________                                                \       ___________________________________________                                                
               |           /                       2                       /     /                      2        2   \\|      /                       2                       /     /                      2        2   \\
               |        4 /  /       2        2   \        2      2        |atan2\2*im(a)*re(a), -4 + re (a) - im (a)/||   4 /  /       2        2   \        2      2        |atan2\2*im(a)*re(a), -4 + re (a) - im (a)/|
               |        \/   \-4 + re (a) - im (a)/  + 4*im (a)*re (a) *sin|------------------------------------------||   \/   \-4 + re (a) - im (a)/  + 4*im (a)*re (a) *cos|------------------------------------------|
     re(a)     |im(a)                                                      \                    2                     /|                                                      \                    2                     /
x1 = ----- + I*|----- - -----------------------------------------------------------------------------------------------| - -----------------------------------------------------------------------------------------------
       2       \  2                                                    2                                               /                                                  2                                               

$$x_{1} = i \left(- \frac{\sqrt[4]{\left(\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4\right)^{2} + 4 \left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(2 \operatorname{re}{\left(a\right)} \operatorname{im}{\left(a\right)},\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{im}{\left(a\right)}}{2}\right) - \frac{\sqrt[4]{\left(\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4\right)^{2} + 4 \left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(2 \operatorname{re}{\left(a\right)} \operatorname{im}{\left(a\right)},\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(a\right)}}{2}$$

               /            ___________________________________________                                                \       ___________________________________________                                                
               |           /                       2                       /     /                      2        2   \\|      /                       2                       /     /                      2        2   \\
               |        4 /  /       2        2   \        2      2        |atan2\2*im(a)*re(a), -4 + re (a) - im (a)/||   4 /  /       2        2   \        2      2        |atan2\2*im(a)*re(a), -4 + re (a) - im (a)/|
               |        \/   \-4 + re (a) - im (a)/  + 4*im (a)*re (a) *sin|------------------------------------------||   \/   \-4 + re (a) - im (a)/  + 4*im (a)*re (a) *cos|------------------------------------------|
     re(a)     |im(a)                                                      \                    2                     /|                                                      \                    2                     /
x2 = ----- + I*|----- + -----------------------------------------------------------------------------------------------| + -----------------------------------------------------------------------------------------------
       2       \  2                                                    2                                               /                                                  2                                               

$$x_{2} = i \left(\frac{\sqrt[4]{\left(\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4\right)^{2} + 4 \left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(2 \operatorname{re}{\left(a\right)} \operatorname{im}{\left(a\right)},\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{im}{\left(a\right)}}{2}\right) + \frac{\sqrt[4]{\left(\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4\right)^{2} + 4 \left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(2 \operatorname{re}{\left(a\right)} \operatorname{im}{\left(a\right)},\left(\operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} - 4 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(a\right)}}{2}$$