x^4-3x^2+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-3x^2+1=0

Вы ввели

 4      2        
x  - 3*x  + 1 = 0

$$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

Быстрый ответ

             ___
       1   \/ 5 
x1 = - - + -----
       2     2  

$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

           ___
     1   \/ 5 
x2 = - - -----
     2     2  

$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

           ___
     1   \/ 5 
x3 = - + -----
     2     2  

$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

             ___
       1   \/ 5 
x4 = - - - -----
       2     2  

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___         ___         ___           ___
      1   \/ 5    1   \/ 5    1   \/ 5      1   \/ 5 
0 + - - + ----- + - - ----- + - + ----- + - - - -----
      2     2     2     2     2     2       2     2  

$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /        ___\ /      ___\ /      ___\ /        ___\
  |  1   \/ 5 | |1   \/ 5 | |1   \/ 5 | |  1   \/ 5 |
1*|- - + -----|*|- - -----|*|- + -----|*|- - - -----|
  \  2     2  / \2     2  / \2     2  / \  2     2  /

$$1 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

x1 = 1.61803398874989

x2 = -0.618033988749895

x3 = 0.618033988749895

x4 = -1.61803398874989

График