x^4-2x^2-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-2x^2-1=0

Вы ввели

 4      2        
x  - 2*x  - 1 = 0

$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 2 v - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
$$v_{2} = 1 - \sqrt{2}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(1 + \sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) \left(1 + \sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 - \sqrt{2}}$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 - \sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 - \sqrt{2}}$$

Быстрый ответ

         ___________
        /       ___ 
x1 = -\/  1 + \/ 2  

$$x_{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$

        ___________
       /       ___ 
x2 = \/  1 + \/ 2  

$$x_{2} = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$$

           ____________
          /        ___ 
x3 = -I*\/  -1 + \/ 2  

$$x_{3} = - i \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$

          ____________
         /        ___ 
x4 = I*\/  -1 + \/ 2  

$$x_{4} = i \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$

Численный ответ

x1 = 0.643594252905583*i

x2 = 1.55377397403004

x3 = -1.55377397403004

x4 = -0.643594252905583*i

График