x^4-2x^2+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-2x^2+3=0

Вы ввели

 4      2        
x  - 2*x  + 3 = 0

$$x^{4} - 2 x^{2} + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{2} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 2 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (3) = -8

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 1 + \sqrt{2} i$$
Упростить
$$v_{2} = 1 - \sqrt{2} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 + \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 + \sqrt{2} i}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 + \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{2} i}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 - \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 - \sqrt{2} i}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 - \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 - \sqrt{2} i}$$

Быстрый ответ

                /    /  ___\\              /    /  ___\\
       4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x1 = - \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------|
                \     2     /              \     2     /

$$x_{1} = - \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}$$

                /    /  ___\\              /    /  ___\\
       4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x2 = - \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
                \     2     /              \     2     /

$$x_{2} = - \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}$$

              /    /  ___\\              /    /  ___\\
     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x3 = \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------|
              \     2     /              \     2     /

$$x_{3} = \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}$$

              /    /  ___\\              /    /  ___\\
     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x4 = \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
              \     2     /              \     2     /

$$x_{4} = \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\
      4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|   4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|   4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
0 + - \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------| + - \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------| + \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------| + \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
               \     2     /              \     2     /              \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /

$$\left(\left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) - 2 \cdot \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /           /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /           /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /         /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /         /    /  ___\\              /    /  ___\\\
  |  4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |  4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /||
1*|- \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------||*|- \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------||*|\/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------||*|\/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------||
  \           \     2     /              \     2     // \           \     2     /              \     2     // \         \     2     /              \     2     // \         \     2     /              \     2     //

$$1 \left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

3

$$3$$

Численный ответ

x1 = -1.16877089448037 + 0.605000333706056*i

x2 = 1.16877089448037 - 0.605000333706056*i

x3 = -1.16877089448037 - 0.605000333706056*i

x4 = 1.16877089448037 + 0.605000333706056*i

График