x^4+3x^2+4=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+3x^2+4=0

Вы ввели

 4      2        
x  + 3*x  + 4 = 0

$$x^{4} + 3 x^{2} + 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} + 3 x^{2} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 3 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (1) * (4) = -7

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}}$$

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 7 
x1 = - - - -------
       2      2   

$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 7 
x2 = - - + -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 7 
x3 = - - -------
     2      2   

$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 7 
x4 = - + -------
     2      2   

$$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___           ___           ___
      1   I*\/ 7      1   I*\/ 7    1   I*\/ 7    1   I*\/ 7 
0 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
      2      2        2      2      2      2      2      2   

$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) - 1\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\
  |  1   I*\/ 7 | |  1   I*\/ 7 | |1   I*\/ 7 | |1   I*\/ 7 |
1*|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|
  \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   /

$$1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

4

$$4$$

Численный ответ

x1 = -0.5 - 1.3228756555323*i

x2 = 0.5 + 1.3228756555323*i

x3 = -0.5 + 1.3228756555323*i

x4 = 0.5 - 1.3228756555323*i

График