x^4+2=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4+2=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4        
    x  + 2 = 0
    x4+2=0x^{4} + 2 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x4+2=0x^{4} + 2 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -2 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z4=2z^{4} = -2
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=2r^{4} e^{4 i p} = -2
    где
    r=24r = \sqrt[4]{2}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=1e^{4 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(4p)+cos(4p)=1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1
    значит
    cos(4p)=1\cos{\left(4 p \right)} = -1
    и
    sin(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN2+π4p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=2342234i2z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    z2=2342+234i2z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    z3=2342234i2z_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    z4=2342+234i2z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=2342234i2x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    x2=2342+234i2x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    x3=2342234i2x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    x4=2342+234i2x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    График
    -2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0020
    Быстрый ответ [src]
            3/4      3/4
           2      I*2   
    x1 = - ---- - ------
            2       2   
    x1=2342234i2x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
            3/4      3/4
           2      I*2   
    x2 = - ---- + ------
            2       2   
    x2=2342+234i2x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
          3/4      3/4
         2      I*2   
    x3 = ---- - ------
          2       2   
    x3=2342234i2x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
          3/4      3/4
         2      I*2   
    x4 = ---- + ------
          2       2   
    x4=2342+234i2x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
           3/4      3/4      3/4      3/4    3/4      3/4    3/4      3/4
          2      I*2        2      I*2      2      I*2      2      I*2   
    0 + - ---- - ------ + - ---- + ------ + ---- - ------ + ---- + ------
           2       2         2       2       2       2       2       2   
    ((2342234i2)234)+(2342+234i2)\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) - 2^{\frac{3}{4}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /   3/4      3/4\ /   3/4      3/4\ / 3/4      3/4\ / 3/4      3/4\
      |  2      I*2   | |  2      I*2   | |2      I*2   | |2      I*2   |
    1*|- ---- - ------|*|- ---- + ------|*|---- - ------|*|---- + ------|
      \   2       2   / \   2       2   / \ 2       2   / \ 2       2   /
    1(2342234i2)(2342+234i2)(2342234i2)(2342+234i2)1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right)
    =
    2
    22
    Численный ответ [src]
    x1 = 0.840896415253715 + 0.840896415253715*i
    x2 = 0.840896415253715 - 0.840896415253715*i
    x3 = -0.840896415253715 + 0.840896415253715*i
    x4 = -0.840896415253715 - 0.840896415253715*i
    График
    x^4+2=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/b4/69fa3827b453afb12c4f4ca5d7dbb.png