x^4+2=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^4+2=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx 4 + 2 = 0 x^{4} + 2 = 0 x 4 + 2 = 0 Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -2 < 0, зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует Остальные 4 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 4 = − 2 z^{4} = -2 z 4 = − 2 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 4 e 4 i p = − 2 r^{4} e^{4 i p} = -2 r 4 e 4 i p = − 2 гдеr = 2 4 r = \sqrt[4]{2} r = 4 2 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 4 i p = − 1 e^{4 i p} = -1 e 4 i p = − 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 4 p ) + cos ( 4 p ) = − 1 i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1 i sin ( 4 p ) + cos ( 4 p ) = − 1 значитcos ( 4 p ) = − 1 \cos{\left(4 p \right)} = -1 cos ( 4 p ) = − 1 иsin ( 4 p ) = 0 \sin{\left(4 p \right)} = 0 sin ( 4 p ) = 0 тогдаp = π N 2 + π 4 p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4} p = 2 π N + 4 π где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = − 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} z 1 = − 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i z 2 = − 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} z 2 = − 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i z 3 = 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 z_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} z 3 = 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i z 4 = 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} z 4 = 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = − 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 1 = − 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i x 2 = − 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 2 = − 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i x 3 = 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 3 = 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i x 4 = 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 4 = 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i
График
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 20
3/4 3/4
2 I*2
x1 = - ---- - ------
2 2 x 1 = − 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 1 = − 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i 3/4 3/4
2 I*2
x2 = - ---- + ------
2 2 x 2 = − 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 2 = − 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i 3/4 3/4
2 I*2
x3 = ---- - ------
2 2 x 3 = 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 3 = 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i 3/4 3/4
2 I*2
x4 = ---- + ------
2 2 x 4 = 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} x 4 = 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i
Сумма и произведение корней
[src] 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4
2 I*2 2 I*2 2 I*2 2 I*2
0 + - ---- - ------ + - ---- + ------ + ---- - ------ + ---- + ------
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 ) − 2 3 4 ) + ( 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 ) \left(\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) - 2^{\frac{3}{4}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) ( ( 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i ) − 2 4 3 ) + ( 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i ) / 3/4 3/4\ / 3/4 3/4\ / 3/4 3/4\ / 3/4 3/4\
| 2 I*2 | | 2 I*2 | |2 I*2 | |2 I*2 |
1*|- ---- - ------|*|- ---- + ------|*|---- - ------|*|---- + ------|
\ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 1 ( − 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 ) ( − 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 ) ( 2 3 4 2 − 2 3 4 i 2 ) ( 2 3 4 2 + 2 3 4 i 2 ) 1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) 1 ( − 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i ) ( − 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i ) ( 2 2 4 3 − 2 2 4 3 i ) ( 2 2 4 3 + 2 2 4 3 i ) x1 = 0.840896415253715 + 0.840896415253715*i x2 = 0.840896415253715 - 0.840896415253715*i x3 = -0.840896415253715 + 0.840896415253715*i x4 = -0.840896415253715 - 0.840896415253715*i