x^10=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10=1

Вы ввели

 10    
x   = 1

$$x^{10} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = 1$$
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x3 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x4 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x5 = - + ----- - I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x6 = - + ----- + I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x7 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x8 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x9 = - - ----- - I*  /   - + ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                         ___________
            ___         /       ___ 
      1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x10 = - - ----- + I*  /   - + ----- 
      4     4       \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                 ___________                        ___________                      ___________                      ___________                        ___________                        ___________                      ___________                      ___________
                    ___         /       ___            ___         /       ___          ___         /       ___          ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___          ___         /       ___          ___         /       ___ 
              1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
0 - 1 + 1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - + ----- - I*  /   - - -----  + - + ----- + I*  /   - - -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - -----  + - - ----- - I*  /   - + -----  + - - ----- + I*  /   - + ----- 
              4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /                     ___________\ /                     ___________\ /                   ___________\ /                   ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                   ___________\ /                   ___________\
       |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |      ___         /       ___ |
       |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
1*-1*1*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- + ----- - I*  /   - - ----- |*|- + ----- + I*  /   - - ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |*|- - ----- - I*  /   - + ----- |*|- - ----- + I*  /   - + ----- |
       \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   /

$$1 \left(-1\right) 1 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

x1 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

x2 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

x3 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

x4 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

x5 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

x6 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

x7 = 1.0

x8 = -1.0

x9 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

x10 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

График