x^10=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10=5

Вы ввели

 10    
x   = 5

$$x^{10} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = \sqrt[10]{5}$$
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = \sqrt[10]{5} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[10]{5}$$
$$x = - \sqrt[10]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/10

Получим ответ: x = 5^(1/10)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/10

Получим ответ: x = -5^(1/10)
или
$$x_{1} = - \sqrt[10]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{5}$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[10]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[10]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[10]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[10]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

      10___
x1 = -\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt[10]{5}$$

     10___
x2 = \/ 5 

$$x_{2} = \sqrt[10]{5}$$

                                   ___________
       10___    3/5               /       ___ 
       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x3 = - ----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - + ----- 
         4      4             \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                   ___________
       10___    3/5               /       ___ 
       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x4 = - ----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - + ----- 
         4      4             \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                 ___________
     10___    3/5               /       ___ 
     \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x5 = ----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - - ----- 
       4      4             \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                 ___________
     10___    3/5               /       ___ 
     \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x6 = ----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - - ----- 
       4      4             \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                   ___________
       10___    3/5               /       ___ 
       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x7 = - ----- - ---- - I*\/ 5 *  /   - - ----- 
         4      4             \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                   ___________
       10___    3/5               /       ___ 
       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  
x8 = - ----- - ---- + I*\/ 5 *  /   - - ----- 
         4      4             \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                   ___________
        3/5   10___               /       ___ 
       5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x9 = - ---- + ----- - I*\/ 5 *  /   - + ----- 
        4       4             \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                    ___________
         3/5   10___               /       ___ 
        5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x10 = - ---- + ----- + I*\/ 5 *  /   - + ----- 
         4       4             \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                  ___________                                 ___________                               ___________                               ___________                                 ___________                                 ___________                                 ___________                                 ___________
                      10___    3/5               /       ___      10___    3/5               /       ___    10___    3/5               /       ___    10___    3/5               /       ___      10___    3/5               /       ___      10___    3/5               /       ___       3/5   10___               /       ___       3/5   10___               /       ___ 
    10___   10___     \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5     \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5     \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5       \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5       5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5       5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5  
0 - \/ 5  + \/ 5  + - ----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - + -----  + - ----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - + -----  + ----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - - -----  + ----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - - -----  + - ----- - ---- - I*\/ 5 *  /   - - -----  + - ----- - ---- + I*\/ 5 *  /   - - -----  + - ---- + ----- - I*\/ 5 *  /   - + -----  + - ---- + ----- + I*\/ 5 *  /   - + ----- 
                        4      4             \/    8     8          4      4             \/    8     8        4      4             \/    8     8        4      4             \/    8     8          4      4             \/    8     8          4      4             \/    8     8         4       4             \/    8     8         4       4             \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) - \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{\sqrt[10]{5}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /                              ___________\ /                              ___________\ /                            ___________\ /                            ___________\ /                              ___________\ /                              ___________\ /                              ___________\ /                              ___________\
               |  10___    3/5               /       ___ | |  10___    3/5               /       ___ | |10___    3/5               /       ___ | |10___    3/5               /       ___ | |  10___    3/5               /       ___ | |  10___    3/5               /       ___ | |   3/5   10___               /       ___ | |   3/5   10___               /       ___ |
   10___ 10___ |  \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |\/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |\/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 5    5        10___    /  5   \/ 5  | |  5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5  | |  5      \/ 5      10___    /  5   \/ 5  |
1*-\/ 5 *\/ 5 *|- ----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - + ----- |*|- ----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - + ----- |*|----- + ---- - I*\/ 5 *  /   - - ----- |*|----- + ---- + I*\/ 5 *  /   - - ----- |*|- ----- - ---- - I*\/ 5 *  /   - - ----- |*|- ----- - ---- + I*\/ 5 *  /   - - ----- |*|- ---- + ----- - I*\/ 5 *  /   - + ----- |*|- ---- + ----- + I*\/ 5 *  /   - + ----- |
               \    4      4             \/    8     8   / \    4      4             \/    8     8   / \  4      4             \/    8     8   / \  4      4             \/    8     8   / \    4      4             \/    8     8   / \    4      4             \/    8     8   / \   4       4             \/    8     8   / \   4       4             \/    8     8   /

$$\sqrt[10]{5} \cdot 1 \left(- \sqrt[10]{5}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} - \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{5}}{4} + \sqrt[10]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

-5

$$-5$$

Численный ответ

x1 = 1.17461894308802

x2 = 0.950286686872947 - 0.690423691810509*i

x3 = -0.950286686872947 + 0.690423691810509*i

x4 = 0.362977215328937 - 1.11712899998759*i

x5 = 0.950286686872947 + 0.690423691810509*i

x6 = -1.17461894308802

x7 = -0.950286686872947 - 0.690423691810509*i

x8 = -0.362977215328937 + 1.11712899998759*i

x9 = 0.362977215328937 + 1.11712899998759*i

x10 = -0.362977215328937 - 1.11712899998759*i

График