x^9=-2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^9=-2

Вы ввели

 9     
x  = -2

$$x^{9} = -2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = -2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{x^{9}} = \sqrt[9]{-2}$$
или
$$x = \sqrt[9]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/9

Получим ответ: x = (-2)^(1/9)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[9]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (9 p \right )} + \cos{\left (9 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (9 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (9 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{9} N + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{2} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{3} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - 2 \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{6} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{7} = \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )}$$
$$z_{8} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$z_{9} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{2} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{3} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - 2 \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} i}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{6} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{7} = \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )}$$
$$x_{8} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$
$$x_{9} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )}$$

Быстрый ответ

       9 ___    2/pi\   9 ___    2/pi\
x1 = - \/ 2 *cos |--| - \/ 2 *sin |--|
                 \9 /             \9 /

$$x_{1} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$

       /  9 ___    /pi\   9 ___   ___    /pi\\   9 ___    /pi\   9 ___   ___    /pi\
       |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |           \9 /                  \9 /|            \9 /                  \9 /
x2 = I*|- ------------- + -------------------| - ------------- - -------------------
       \        2                  2         /         2                  2         

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + i \left(- \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}\right)$$

       /  9 ___    /pi\   9 ___   ___    /pi\\   9 ___    /pi\   9 ___   ___    /pi\
       |  \/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |           \9 /                  \9 /|            \9 /                  \9 /
x3 = I*|- ------------- - -------------------| - ------------- + -------------------
       \        2                  2         /         2                  2         

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + i \left(- \frac{\sqrt[9]{2} \sqrt{3}}{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - \frac{\sqrt[9]{2}}{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}\right)$$

       /9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /2*pi\    /pi\\   9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\
x4 = I*|\/ 2 *cos|--|*sin|----| + \/ 2 *cos|----|*sin|--|| + \/ 2 *cos|--|*cos|----| - \/ 2 *sin|--|*sin|----|
       \         \9 /    \ 9  /            \ 9  /    \9 //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{4} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + i \left(\sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}\right)$$

       /9 ___    /2*pi\    /pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\\   9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\
x5 = I*|\/ 2 *cos|----|*sin|--| - \/ 2 *cos|--|*sin|----|| + \/ 2 *cos|--|*cos|----| + \/ 2 *sin|--|*sin|----|
       \         \ 9  /    \9 /            \9 /    \ 9  //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{5} = \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + i \left(- \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )}\right)$$

       /9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /4*pi\    /pi\\   9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\
x6 = I*|\/ 2 *cos|--|*sin|----| + \/ 2 *cos|----|*sin|--|| + \/ 2 *cos|--|*cos|----| - \/ 2 *sin|--|*sin|----|
       \         \9 /    \ 9  /            \ 9  /    \9 //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{6} = - \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + i \left(\sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}\right)$$

       /9 ___    /4*pi\    /pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\\   9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\
x7 = I*|\/ 2 *cos|----|*sin|--| - \/ 2 *cos|--|*sin|----|| + \/ 2 *cos|--|*cos|----| + \/ 2 *sin|--|*sin|----|
       \         \ 9  /    \9 /            \9 /    \ 9  //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{7} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} + i \left(- \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{4 \pi}{9} \right )}\right)$$

     9 ___    /pi\     9 ___    /pi\
x8 = \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
              \9 /              \9 /

$$x_{8} = \sqrt[9]{2} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$

     9 ___    2/pi\   9 ___    2/pi\       9 ___    /pi\    /pi\
x9 = \/ 2 *sin |--| - \/ 2 *cos |--| - 2*I*\/ 2 *cos|--|*sin|--|
               \9 /             \9 /                \9 /    \9 /

$$x_{9} = - \sqrt[9]{2} \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} + \sqrt[9]{2} \sin^{2}{\left (\frac{\pi}{9} \right )} - 2 \sqrt[9]{2} i \sin{\left (\frac{\pi}{9} \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{9} \right )}$$

Численный ответ

x1 = -0.18755040543 + 1.06365120458*i

x2 = 1.01492416665 - 0.369402186696*i

x3 = -0.18755040543 - 1.06365120458*i

x4 = 1.01492416665 + 0.369402186696*i

x5 = -0.827373761215 + 0.694249017881*i

x6 = 0.540029869446 - 0.935359171486*i

x7 = -0.827373761215 - 0.694249017881*i

x8 = -1.08005973889000

x9 = 0.540029869446 + 0.935359171486*i

График