x^9 =-6 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^9 =-6

Вы ввели

 9     
x  = -6

$$x^{9} = -6$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = -6$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{x^{9}} = \sqrt[9]{-6}$$
или
$$x = \sqrt[9]{-6}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -6^1/9

Получим ответ: x = (-6)^(1/9)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = -6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -6$$
где
$$r = \sqrt[9]{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9} + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{6} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{3} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{6} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Быстрый ответ

       9 ___    2/pi\   9 ___    2/pi\
x1 = - \/ 6 *cos |--| - \/ 6 *sin |--|
                 \9 /             \9 /

$$x_{1} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

       /                         11        \                          11        
       |                         --        |                          --        
       |  9 ___    /pi\   9 ___  18    /pi\|   9 ___    /pi\   9 ___  18    /pi\
       |  \/ 6 *sin|--|   \/ 2 *3  *cos|--||   \/ 6 *cos|--|   \/ 2 *3  *sin|--|
       |           \9 /                \9 /|            \9 /                \9 /
x2 = I*|- ------------- + -----------------| - ------------- - -----------------
       \        2                 2        /         2                 2        

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

       /                         11        \                          11        
       |                         --        |                          --        
       |  9 ___    /pi\   9 ___  18    /pi\|   9 ___    /pi\   9 ___  18    /pi\
       |  \/ 6 *sin|--|   \/ 2 *3  *cos|--||   \/ 6 *cos|--|   \/ 2 *3  *sin|--|
       |           \9 /                \9 /|            \9 /                \9 /
x3 = I*|- ------------- - -----------------| - ------------- + -----------------
       \        2                 2        /         2                 2        

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[9]{2} \cdot 3^{\frac{11}{18}} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

       /9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /2*pi\    /pi\\   9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\
x4 = I*|\/ 6 *cos|--|*sin|----| + \/ 6 *cos|----|*sin|--|| + \/ 6 *cos|--|*cos|----| - \/ 6 *sin|--|*sin|----|
       \         \9 /    \ 9  /            \ 9  /    \9 //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{4} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \left(\sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

       /9 ___    /2*pi\    /pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\\   9 ___    /pi\    /2*pi\   9 ___    /pi\    /2*pi\
x5 = I*|\/ 6 *cos|----|*sin|--| - \/ 6 *cos|--|*sin|----|| + \/ 6 *cos|--|*cos|----| + \/ 6 *sin|--|*sin|----|
       \         \ 9  /    \9 /            \9 /    \ 9  //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{5} = \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \left(- \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$

       /9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /4*pi\    /pi\\   9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\
x6 = I*|\/ 6 *cos|--|*sin|----| + \/ 6 *cos|----|*sin|--|| + \/ 6 *cos|--|*cos|----| - \/ 6 *sin|--|*sin|----|
       \         \9 /    \ 9  /            \ 9  /    \9 //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{6} = - \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \left(\sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

       /9 ___    /4*pi\    /pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\\   9 ___    /pi\    /4*pi\   9 ___    /pi\    /4*pi\
x7 = I*|\/ 6 *cos|----|*sin|--| - \/ 6 *cos|--|*sin|----|| + \/ 6 *cos|--|*cos|----| + \/ 6 *sin|--|*sin|----|
       \         \ 9  /    \9 /            \9 /    \ 9  //            \9 /    \ 9  /            \9 /    \ 9  /

$$x_{7} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \left(- \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

     9 ___    /pi\     9 ___    /pi\
x8 = \/ 6 *cos|--| + I*\/ 6 *sin|--|
              \9 /              \9 /

$$x_{8} = \sqrt[9]{6} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

     9 ___    2/pi\   9 ___    2/pi\       9 ___    /pi\    /pi\
x9 = \/ 6 *sin |--| - \/ 6 *cos |--| - 2*I*\/ 6 *cos|--|*sin|--|
               \9 /             \9 /                \9 /    \9 /

$$x_{9} = - \sqrt[9]{6} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[9]{6} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 \sqrt[9]{6} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = -0.211900255348721 + 1.20174606573155*i

x2 = -0.934792494147165 - 0.784384037066176*i

x3 = -0.211900255348721 - 1.20174606573155*i

x4 = 1.14669274949589 + 0.417362028665373*i

x5 = -0.934792494147165 + 0.784384037066176*i

x6 = -1.22028493587281

x7 = 0.610142467936405 - 1.05679775432132*i

x8 = 1.14669274949589 - 0.417362028665373*i

x9 = 0.610142467936405 + 1.05679775432132*i

График