x^2-2y^2=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2-2y^2=1

Вы ввели

 2      2    
x  - 2*y  = 1

$$x^{2} - 2 y^{2} = 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} - 2 y^{2} = 1$$
в
$$\left(x^{2} - 2 y^{2}\right) - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - 2 y^{2} - 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1 - 2*y^2) = 4 + 8*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{8 y^{2} + 4}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{8 y^{2} + 4}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

         __________
        /        2 
x1 = -\/  1 + 2*y  

$$x_{1} = - \sqrt{2 y^{2} + 1}$$

        __________
       /        2 
x2 = \/  1 + 2*y  

$$x_{2} = \sqrt{2 y^{2} + 1}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       __________      __________
      /        2      /        2 
0 - \/  1 + 2*y   + \/  1 + 2*y  

$$\sqrt{2 y^{2} + 1} + \left(- \sqrt{2 y^{2} + 1} + 0\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      __________    __________
     /        2    /        2 
1*-\/  1 + 2*y  *\/  1 + 2*y  

$$1 \left(- \sqrt{2 y^{2} + 1}\right) \sqrt{2 y^{2} + 1}$$

=

        2
-1 - 2*y 

$$- 2 y^{2} - 1$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \left(-1\right) 2 y^{2} - 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = \left(-1\right) 2 y^{2} - 1$$