x^2-x+a=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2-x+a=0

Вы ввели

 2            
x  - x + a = 0

$$a + \left(x^{2} - x\right) = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = a$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (a) = 1 - 4*a

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} + \frac{1}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

            ____________________________                                          ____________________________                                  
         4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\
         \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------|
     1                                      \             2              /                                        \             2              /
x1 = - - ----------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------
     2                                   2                                                                    2                                 

$$x_{1} = - \frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$

            ____________________________                                          ____________________________                                  
         4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\
         \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------|
     1                                      \             2              /                                        \             2              /
x2 = - + ----------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------
     2                                   2                                                                    2                                 

$$x_{2} = \frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       ____________________________                                          ____________________________                                            ____________________________                                          ____________________________                                  
    4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\       4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\
    \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------|       \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------|
1                                      \             2              /                                        \             2              /   1                                      \             2              /                                        \             2              /
- - ----------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------- + - + ----------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------
2                                   2                                                                    2                                    2                                   2                                                                    2                                 

$$\left(- \frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

/       ____________________________                                          ____________________________                                  \ /       ____________________________                                          ____________________________                                  \
|    4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\| |    4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\     4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 1 - 4*re(a))\|
|    \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------|| |    \/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------|   I*\/  (1 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------||
|1                                      \             2              /                                        \             2              /| |1                                      \             2              /                                        \             2              /|
|- - ----------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------|*|- + ----------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------|
\2                                   2                                                                    2                                 / \2                                   2                                                                    2                                 /

$$\left(- \frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{i \sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)}\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- 4 \operatorname{im}{\left(a\right)},1 - 4 \operatorname{re}{\left(a\right)} \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$

=

I*im(a) + re(a)

$$\operatorname{re}{\left(a\right)} + i \operatorname{im}{\left(a\right)}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = a$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 1$$
$$x_{1} x_{2} = a$$