x^2+y^2=65 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+y^2=65

Вы ввели

 2    2     
x  + y  = 65

$$x^{2} + y^{2} = 65$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + y^{2} = 65$$
в
$$\left(x^{2} + y^{2}\right) - 65 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} - 65$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-65 + y^2) = 260 - 4*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{260 - 4 y^{2}}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{260 - 4 y^{2}}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

         _________
        /       2 
x1 = -\/  65 - y  

$$x_{1} = - \sqrt{65 - y^{2}}$$

        _________
       /       2 
x2 = \/  65 - y  

$$x_{2} = \sqrt{65 - y^{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       _________      _________
      /       2      /       2 
0 - \/  65 - y   + \/  65 - y  

$$\sqrt{65 - y^{2}} + \left(- \sqrt{65 - y^{2}} + 0\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      _________    _________
     /       2    /       2 
1*-\/  65 - y  *\/  65 - y  

$$1 \left(- \sqrt{65 - y^{2}}\right) \sqrt{65 - y^{2}}$$

=

       2
-65 + y 

$$y^{2} - 65$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = y^{2} - 65$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = y^{2} - 65$$