x^2=ax+b (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2=ax+b

Вы ввели

 2          
x  = a*x + b

$$x^{2} = a x + b$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} = a x + b$$
в
$$x^{2} - \left(a x + b\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - a$$
$$c = - b$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-a)^2 - 4 * (1) * (-b) = a^2 + 4*b

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

            __________
           /  2       
     a   \/  a  + 4*b 
x1 = - - -------------
     2         2      

$$x_{1} = \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}$$

            __________
           /  2       
     a   \/  a  + 4*b 
x2 = - + -------------
     2         2      

$$x_{2} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           __________          __________
          /  2                /  2       
    a   \/  a  + 4*b    a   \/  a  + 4*b 
0 + - - ------------- + - + -------------
    2         2         2         2      

$$\left(\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}\right) + \left(\left(\frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}\right) + 0\right)$$

=

a

$$a$$

произведение

  /       __________\ /       __________\
  |      /  2       | |      /  2       |
  |a   \/  a  + 4*b | |a   \/  a  + 4*b |
1*|- - -------------|*|- + -------------|
  \2         2      / \2         2      /

$$1 \left(\frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}\right) \left(\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} + 4 b}}{2}\right)$$

=

-b

$$- b$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - a$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - b$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = a$$
$$x_{1} x_{2} = - b$$