x^(log(x)+1)=100 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^(log(x)+1)=100

Вы ввели

 log(x) + 1      
x           = 100

$$x^{\log{\left(x \right)} + 1} = 100$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{\log{\left (x \right )} + 1} = 100$$
преобразуем
$$x^{\log{\left (x \right )} + 1} - 100 = 0$$
$$x^{\log{\left (x \right )} + 1} - 100 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
$$x^{w + 1} - 100 = 0$$
или
$$x^{w + 1} - 100 = 0$$
или
$$x x^{w} = 100$$
или
$$x^{w} = \frac{100}{x}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = x^{w}$$
получим
$$v - \frac{100}{x} = 0$$
или
$$v - \frac{100}{x} = 0$$
делаем обратную замену
$$x^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left (\frac{100}{x} \right )}}{\log{\left (x \right )}} = \frac{\log{\left (\frac{100}{x} \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:

Быстрый ответ

              _______________
        1   \/ 1 + 8*log(10) 
      - - + -----------------
        2           2        
x1 = e                       

$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2}}$$

              _______________
        1   \/ 1 + 8*log(10) 
      - - - -----------------
        2           2        
x2 = e                       

$$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             _______________            _______________
       1   \/ 1 + 8*log(10)       1   \/ 1 + 8*log(10) 
     - - + -----------------    - - - -----------------
       2           2              2           2        
0 + e                        + e                       

$$e^{- \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}} + \left(0 + e^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2}}\right)$$

=

         _______________            _______________
   1   \/ 1 + 8*log(10)       1   \/ 1 + 8*log(10) 
 - - + -----------------    - - - -----------------
   2           2              2           2        
e                        + e                       

$$e^{- \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}} + e^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2}}$$

произведение

           _______________          _______________
     1   \/ 1 + 8*log(10)     1   \/ 1 + 8*log(10) 
   - - + -----------------  - - - -----------------
     2           2            2           2        
1*e                       *e                       

$$\frac{1 e^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2}}}{e^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8 \log{\left(10 \right)}}}{2}}}$$

=

 -1
e  

$$e^{-1}$$

Численный ответ

x1 = -6.05421280359705 - 10.9558439432548*i

x2 = 5.4928380566125

x3 = 5.4928380566125

График