x^5-1,5=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^5-1,5=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5   3    
    x  - - = 0
         2    
    x532=0x^{5} - \frac{3}{2} = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x532=0x^{5} - \frac{3}{2} = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x55=325\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}
    или
    x=245352x = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^4/5*3^1/5/2

    Получим ответ: x = 2^(4/5)*3^(1/5)/2

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z5=32z^{5} = \frac{3}{2}
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r5e5ip=32r^{5} e^{5 i p} = \frac{3}{2}
    где
    r=245352r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=1e^{5 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(5p)+cos(5p)=1i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1
    значит
    cos(5p)=1\cos{\left(5 p \right)} = 1
    и
    sin(5p)=0\sin{\left(5 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN5p = \frac{2 \pi N}{5}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=245352z_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}
    z2=245358+245355824535i58+582z_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    z3=245358+2453558+24535i58+582z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    z4=245355824535824535i58582z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    z5=2453558245358+24535i58582z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=245352x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}
    x2=245358+245355824535i58+582x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    x3=245358+2453558+24535i58+582x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    x4=245355824535824535i58582x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    x5=2453558245358+24535i58582x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    График
    -12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-250000250000
    Быстрый ответ [src]
          4/5 5 ___
         2   *\/ 3 
    x1 = ----------
             2     
    x1=245352x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}
                                                             ___________
                                                            /       ___ 
                                              4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
            4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - + ----- 
           2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
    x2 = - ---------- + ---------------- - -----------------------------
               8               8                         2              
    x2=245358+245355824535i58+582x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
                                                             ___________
                                                            /       ___ 
                                              4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
            4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - + ----- 
           2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
    x3 = - ---------- + ---------------- + -----------------------------
               8               8                         2              
    x3=245358+2453558+24535i58+582x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
                                                             ___________
                                                            /       ___ 
                                              4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
            4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - - ----- 
           2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
    x4 = - ---------- - ---------------- - -----------------------------
               8               8                         2              
    x4=245355824535824535i58582x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
                                                             ___________
                                                            /       ___ 
                                              4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
            4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - - ----- 
           2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
    x5 = - ---------- - ---------------- + -----------------------------
               8               8                         2              
    x5=2453558245358+24535i58582x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.877356092818838 + 0.637436513637504*i
    x2 = 0.335120207219988 + 1.03139394473572*i
    x3 = 0.335120207219988 - 1.03139394473572*i
    x4 = -0.877356092818838 - 0.637436513637504*i
    x5 = 1.0844717711977
    График
    x^5-1,5=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/9/5b/a78e8f870d0187e17793723613986.png