x^5-1,5=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^5-1,5=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx 5 − 3 2 = 0 x^{5} - \frac{3}{2} = 0 x 5 − 2 3 = 0 Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:x 5 5 = 3 2 5 \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{\frac{3}{2}} 5 x 5 = 5 2 3 илиx = 2 4 5 3 5 2 x = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} x = 2 2 5 4 5 3 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = 2^4/5*3^1/5/2 Получим ответ: x = 2^(4/5)*3^(1/5)/2 Остальные 4 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 5 = 3 2 z^{5} = \frac{3}{2} z 5 = 2 3 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 5 e 5 i p = 3 2 r^{5} e^{5 i p} = \frac{3}{2} r 5 e 5 i p = 2 3 гдеr = 2 4 5 3 5 2 r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} r = 2 2 5 4 5 3 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 5 i p = 1 e^{5 i p} = 1 e 5 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = 1 i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1 i sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = 1 значитcos ( 5 p ) = 1 \cos{\left(5 p \right)} = 1 cos ( 5 p ) = 1 иsin ( 5 p ) = 0 \sin{\left(5 p \right)} = 0 sin ( 5 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 5 p = \frac{2 \pi N}{5} p = 5 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = 2 4 5 3 5 2 z_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} z 1 = 2 2 5 4 5 3 z 2 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 z_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} z 2 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 z 3 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} z 3 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 z 4 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} z 4 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5 z 5 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} z 5 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5 делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = 2 4 5 3 5 2 x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} x 1 = 2 2 5 4 5 3 x 2 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} x 2 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 x 3 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} x 3 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 x 4 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} x 4 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5 x 5 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} x 5 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -250000 250000
4/5 5 ___
2 *\/ 3
x1 = ----------
2 x 1 = 2 4 5 3 5 2 x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} x 1 = 2 2 5 4 5 3 ___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x2 = - ---------- + ---------------- - -----------------------------
8 8 2 x 2 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} x 2 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 ___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x3 = - ---------- + ---------------- + -----------------------------
8 8 2 x 3 = − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 + 5 8 2 x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} x 3 = − 8 2 5 4 5 3 + 8 2 5 4 5 3 5 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 + 8 5 ___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x4 = - ---------- - ---------------- - -----------------------------
8 8 2 x 4 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 − 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} x 4 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 − 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5 ___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x5 = - ---------- - ---------------- + -----------------------------
8 8 2 x 5 = − 2 4 5 3 5 5 8 − 2 4 5 3 5 8 + 2 4 5 3 5 i 5 8 − 5 8 2 x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} x 5 = − 8 2 5 4 5 3 5 − 8 2 5 4 5 3 + 2 2 5 4 5 3 i 8 5 − 8 5 x1 = -0.877356092818838 + 0.637436513637504*i x2 = 0.335120207219988 + 1.03139394473572*i x3 = 0.335120207219988 - 1.03139394473572*i x4 = -0.877356092818838 - 0.637436513637504*i