x^5-1,5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5-1,5=0

Вы ввели

 5   3    
x  - - = 0
     2    

$$x^{5} - \frac{3}{2} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} - \frac{3}{2} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$$
или
$$x = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^4/5*3^1/5/2

Получим ответ: x = 2^(4/5)*3^(1/5)/2

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = \frac{3}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = \frac{3}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$

Быстрый ответ

      4/5 5 ___
     2   *\/ 3 
x1 = ----------
         2     

$$x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$

                                                         ___________
                                                        /       ___ 
                                          4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
        4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - + ----- 
       2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
x2 = - ---------- + ---------------- - -----------------------------
           8               8                         2              

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$

                                                         ___________
                                                        /       ___ 
                                          4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
        4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - + ----- 
       2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
x3 = - ---------- + ---------------- + -----------------------------
           8               8                         2              

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$

                                                         ___________
                                                        /       ___ 
                                          4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
        4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - - ----- 
       2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
x4 = - ---------- - ---------------- - -----------------------------
           8               8                         2              

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$

                                                         ___________
                                                        /       ___ 
                                          4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
        4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - - ----- 
       2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
x5 = - ---------- - ---------------- + -----------------------------
           8               8                         2              

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.877356092818838 + 0.637436513637504*i

x2 = 0.335120207219988 + 1.03139394473572*i

x3 = 0.335120207219988 - 1.03139394473572*i

x4 = -0.877356092818838 - 0.637436513637504*i

x5 = 1.0844717711977

График