x^5 + 243 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5 + 243 = 0

Вы ввели

 5          
x  + 243 = 0

$$x^{5} + 243 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} + 243 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-243}$$
или
$$x = 3 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3*1^1/5

Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$x_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = -3

$$x_{1} = -3$$

                     /         ___________                ___________\
                     |        /       ___                /       ___ |
                     |       /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |
             ___     |  3*  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |
     3   3*\/ 5      |    \/    8     8              \/    8     8   |
x2 = - - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------|
     4      4        \          2                       2            /

$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

           /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      
           |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      
           |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |         /       ___      /       ___ 
     3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x3 = - + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{3} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

           /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      
           |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      
           |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x4 = - + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{4} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
     3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - + ------- + 3*I*  /   - - ----- 
     4      4          \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

x1 = -3.0

x2 = -0.927050983124842 - 2.85316954888546*i

x3 = -0.927050983124842 + 2.85316954888546*i

x4 = 2.42705098312484 - 1.76335575687742*i

x5 = 2.42705098312484 + 1.76335575687742*i