x^5=-2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=-2

Вы ввели

 5     
x  = -2

$$x^{5} = -2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = -2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-2}$$
или
$$x = \sqrt[5]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/5

Получим ответ: x = (-2)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[5]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$x_{5} = - \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$

Быстрый ответ

      5 ___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$

               /             ___________                    ___________\              
               |            /       ___                    /       ___ |              
               |  5 ___    /  5   \/ 5     5 ___   ___    /  5   \/ 5  |              
     5 ___     |  \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 5 *  /   - - ----- |   5 ___   ___
     \/ 2      |        \/    8     8                  \/    8     8   |   \/ 2 *\/ 5 
x2 = ----- + I*|- ---------------------- - ----------------------------| - -----------
       4       \            2                           2              /        4     

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

               /             ___________              ___________                    ___________                    ___________\                                          
               |            /       ___              /       ___                    /       ___                    /       ___ |                                          
               |  5 ___    /  5   \/ 5     5 ___    /  5   \/ 5     5 ___   ___    /  5   \/ 5     5 ___   ___    /  5   \/ 5  |              ___________      ___________
     5 ___     |  \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 5 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 5 *  /   - - ----- |             /       ___      /       ___ 
     \/ 2      |        \/    8     8            \/    8     8                  \/    8     8                  \/    8     8   |   5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x3 = ----- + I*|- ---------------------- - ---------------------- - ---------------------------- + ----------------------------| + \/ 2 *  /   - - ----- *  /   - + ----- 
       4       \            4                        4                           4                              4              /         \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{3} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

               /             ___________              ___________                    ___________                    ___________\                                          
               |            /       ___              /       ___                    /       ___                    /       ___ |                                          
               |  5 ___    /  5   \/ 5     5 ___    /  5   \/ 5     5 ___   ___    /  5   \/ 5     5 ___   ___    /  5   \/ 5  |              ___________      ___________
     5 ___     |  \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 5 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 5 *  /   - + ----- |             /       ___      /       ___ 
     \/ 2      |        \/    8     8            \/    8     8                  \/    8     8                  \/    8     8   |   5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x4 = ----- + I*|- ---------------------- + ---------------------- + ---------------------------- + ----------------------------| - \/ 2 *  /   - - ----- *  /   - + ----- 
       4       \            4                        4                           4                              4              /         \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{4} = - \sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

                                        ___________
     5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
     \/ 2    \/ 2 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
x5 = ----- + ----------- + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
       4          4                \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

x1 = -0.35496731310463 - 1.09247705577745*i

x2 = 0.929316490603148 + 0.675187952399881*i

x3 = -0.35496731310463 + 1.09247705577745*i

x4 = 0.929316490603148 - 0.675187952399881*i

x5 = -1.14869835499704

График