x^5=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=3

Вы ввели

 5    
x  = 3

$$x^{5} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = 3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{3}$$
или
$$x = \sqrt[5]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3^1/5

Получим ответ: x = 3^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[5]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[5]{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 ___
x1 = \/ 3 

$$x_{1} = \sqrt[5]{3}$$

                                          ___________
       5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
x2 = - ----- + ----------- - I*\/ 3 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                          ___________
       5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
x3 = - ----- + ----------- + I*\/ 3 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                          ___________
       5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
x4 = - ----- - ----------- - I*\/ 3 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                          ___________
       5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
x5 = - ----- - ----------- + I*\/ 3 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                 ___________                                        ___________                                        ___________                                        ___________
              5 ___   5 ___   ___               /       ___      5 ___   5 ___   ___               /       ___      5 ___   5 ___   ___               /       ___      5 ___   5 ___   ___               /       ___ 
    5 ___     \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5       \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  
0 + \/ 3  + - ----- + ----------- - I*\/ 3 *  /   - + -----  + - ----- + ----------- + I*\/ 3 *  /   - + -----  + - ----- - ----------- - I*\/ 3 *  /   - - -----  + - ----- - ----------- + I*\/ 3 *  /   - - ----- 
                4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(0 + \sqrt[5]{3}\right) - \left(- \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        /                                     ___________\ /                                     ___________\ /                                     ___________\ /                                     ___________\
        |  5 ___   5 ___   ___               /       ___ | |  5 ___   5 ___   ___               /       ___ | |  5 ___   5 ___   ___               /       ___ | |  5 ___   5 ___   ___               /       ___ |
  5 ___ |  \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  | |  \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  | |  \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  | |  \/ 3    \/ 3 *\/ 5      5 ___    /  5   \/ 5  |
1*\/ 3 *|- ----- + ----------- - I*\/ 3 *  /   - + ----- |*|- ----- + ----------- + I*\/ 3 *  /   - + ----- |*|- ----- - ----------- - I*\/ 3 *  /   - - ----- |*|- ----- - ----------- + I*\/ 3 *  /   - - ----- |
        \    4          4                \/    8     8   / \    4          4                \/    8     8   / \    4          4                \/    8     8   / \    4          4                \/    8     8   /

$$1 \cdot \sqrt[5]{3} \left(- \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} - \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{3}}{4} + \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

3

$$3$$

Численный ответ

x1 = 1.24573093961552

x2 = 0.384952030759866 - 1.18476052767182*i

x3 = 0.384952030759866 + 1.18476052767182*i

x4 = -1.00781750056762 + 0.732222274630446*i

x5 = -1.00781750056762 - 0.732222274630446*i

График