х^6+22=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: х^6+22=0

Вы ввели

 6         
x  + 22 = 0

$$x^{6} + 22 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} + 22 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -22 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -22$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -22$$
где
$$r = \sqrt[6]{22}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{22} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{22} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{22} i$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{22} i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$

Быстрый ответ

        6 ____
x1 = -I*\/ 22 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{22} i$$

       6 ____
x2 = I*\/ 22 

$$x_{2} = \sqrt[6]{22} i$$

         6 ____     ___ 6 ____
       I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 
x3 = - -------- - ------------
          2            2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$

       6 ____     ___ 6 ____
     I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 
x4 = -------- - ------------
        2            2      

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$

       ___ 6 ____     6 ____
     \/ 3 *\/ 22    I*\/ 22 
x5 = ------------ - --------
          2            2    

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$

       6 ____     ___ 6 ____
     I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 
x6 = -------- + ------------
        2            2      

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            6 ____     ___ 6 ____     6 ____     ___ 6 ____     ___ 6 ____     6 ____     6 ____     ___ 6 ____
    6 ____     6 ____     I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22    I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22    \/ 3 *\/ 22    I*\/ 22    I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 
- I*\/ 22  + I*\/ 22  + - -------- - ------------ + -------- - ------------ + ------------ - -------- + -------- + ------------
                             2            2            2            2              2            2          2            2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right) + \left(- \sqrt[6]{22} i + \sqrt[6]{22} i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                   /    6 ____     ___ 6 ____\ /  6 ____     ___ 6 ____\ /  ___ 6 ____     6 ____\ /  6 ____     ___ 6 ____\
   6 ____   6 ____ |  I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 | |I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 | |\/ 3 *\/ 22    I*\/ 22 | |I*\/ 22    \/ 3 *\/ 22 |
-I*\/ 22 *I*\/ 22 *|- -------- - ------------|*|-------- - ------------|*|------------ - --------|*|-------- + ------------|
                   \     2            2      / \   2            2      / \     2            2    / \   2            2      /

$$- \sqrt[6]{22} i \sqrt[6]{22} i \left(- \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{22} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{22} i}{2}\right)$$

=

22

$$22$$

Численный ответ

x1 = 1.44966530550729 + 0.836964654369494*i

x2 = -1.44966530550729 - 0.836964654369494*i

x3 = 1.67392930873899*i

x4 = -1.67392930873899*i

x5 = -1.44966530550729 + 0.836964654369494*i

x6 = 1.44966530550729 - 0.836964654369494*i