x^6=-i (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=-i

Вы ввели

 6     
x  = -I

$$x^{6} = - i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = - i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = - i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
x1 = - ----- - -------
         2        2   

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
x2 = ----- + -------
       2        2   

$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |
x3 = - ----- + ----- + I*|- ----- - -----|
         4       4       \    4       4  /

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$

       ___     ___     /    ___     ___\
     \/ 2    \/ 6      |  \/ 6    \/ 2 |
x4 = ----- + ----- + I*|- ----- + -----|
       4       4       \    4       4  /

$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$

         ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |
x5 = - ----- - ----- + I*|- ----- + -----|
         4       4       \    4       4  /

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$

         ___     ___     /  ___     ___\
       \/ 6    \/ 2      |\/ 2    \/ 6 |
x6 = - ----- + ----- + I*|----- + -----|
         4       4       \  4       4  /

$$x_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$

Численный ответ

x1 = -0.258819045102521 + 0.965925826289068*i

x2 = -0.965925826289068 + 0.258819045102521*i

x3 = 0.965925826289068 - 0.258819045102521*i

x4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

x5 = 0.258819045102521 - 0.965925826289068*i

x6 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i