x^3-12x^2+48*x-64=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-12x^2+48*x-64=0

Вы ввели

 3       2                
x  - 12*x  + 48*x - 64 = 0

$$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 = 0$$
преобразуем
$$\left(48 x - \left(- x^{3} + 12 x^{2} - 128\right)\right) - 192 = 0$$
или
$$\left(48 x - \left(- x^{3} + 12 x^{2} - 192 + 64\right)\right) + 4 \left(-48\right) = 0$$
$$48 \left(x - 4\right) - \left(12 \left(x^{2} - 4^{2}\right) - \left(x^{3} - 4^{3}\right)\right) = 0$$
$$48 \left(x - 4\right) + \left(- 12 \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) + 1 \left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -4 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 4\right) \left(\left(- 12 \left(x + 4\right) + 1 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4^{2}\right)\right) + 48\right) = 0$$
или
$$\left(x - 4\right) \left(x^{2} - 8 x + 16\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 4$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - 8 x + 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = 16$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (1) * (16) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

x = -b/2a = --8/2/(1)

$$x_{2} = 4$$
Получаем окончательный ответ для (x^3 - 12*x^2 + 48*x - 1*64) + 0 = 0:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 4$$

Быстрый ответ

x1 = 4

$$x_{1} = 4$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 4

$$0 + 4$$

=

4

$$4$$

произведение

1*4

$$1 \cdot 4$$

=

4

$$4$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -12$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 48$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -64$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 12$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 48$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -64$$

Численный ответ

x1 = 4.0

График