x^3-x^2-x-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-x^2-x-2=0

Вы ввели

 3    2            
x  - x  - x - 2 = 0

$$x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0$$
преобразуем
$$\left(- x - \left(- x^{3} + x^{2} + 4\right)\right) + 2 = 0$$
или
$$\left(- x - \left(- x^{3} + x^{2} - 4 + 8\right)\right) + 2 = 0$$
$$- (x - 2) - \left(x^{2} - \left(x^{3} - 2^{3}\right) - 4\right) = 0$$
$$- (x - 2) + \left(- (x - 2) \left(x + 2\right) + 1 \left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(- (x + 2) + 1 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 1\right) = 0$$
или
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x + 1\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 - x^2 - x - 1*2) + 0 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
          1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + 2 + - - - ------- + - - + -------
          2      2        2      2   

$$\left(\left(0 + 2\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

    /          ___\ /          ___\
    |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*2*|- - - -------|*|- - + -------|
    \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \cdot 2 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -2$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -1$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -2$$

Численный ответ

x1 = -0.5 - 0.866025403784439*i

x2 = 2.0

x3 = -0.5 + 0.866025403784439*i

График