x^3+3x^2-3x-14=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+3x^2-3x-14=0

Вы ввели

 3      2               
x  + 3*x  - 3*x - 14 = 0

$$\left(- 3 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 14 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(- 3 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 14 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 3 x + \left(\left(3 x^{2} + \left(x^{3} - 8\right)\right) - 12\right)\right) + 6 = 0$$
или
$$\left(- 3 x + \left(\left(3 x^{2} + \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) - 3 \cdot 2^{2}\right)\right) + 2 \cdot 3 = 0$$
$$- 3 \left(x - 2\right) + \left(3 \left(x^{2} - 2^{2}\right) + \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 3 \left(x - 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) + 3 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(3 \left(x + 2\right) + \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 3\right) = 0$$
или
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 5 x + 7\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 5 x + 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (7) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для x^3 + 3*x^2 - 3*x - 14 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

               ___
       5   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       5   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      5   I*\/ 3      5   I*\/ 3 
2 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2   

$$\left(2 + \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-3

$$-3$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  5   I*\/ 3 | |  5   I*\/ 3 |
2*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      2   / \  2      2   /

$$2 \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

14

$$14$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 3$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -3$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -14$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -3$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -3$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -14$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -2.5 + 0.866025403784439*i

x3 = -2.5 - 0.866025403784439*i

График