x^3+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+6=0

Вы ввели

 3        
x  + 6 = 0

$$x^{3} + 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 6 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-6}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-6}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -6^1/3

Получим ответ: x = (-6)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -6$$
где
$$r = \sqrt[3]{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{6}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      3 ___
x1 = -\/ 6 

$$x_{1} = - \sqrt[3]{6}$$

     3 ___     3 ___  5/6
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
x2 = ----- - ------------
       2          2      

$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

     3 ___     3 ___  5/6
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
x3 = ----- + ------------
       2          2      

$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.90856029641607 - 1.57367259513247*i

x2 = -1.81712059283214

x3 = 0.90856029641607 + 1.57367259513247*i

График