x^3=15x+4 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=15x+4

Вы ввели

 3           
x  = 15*x + 4

$$x^{3} = 15 x + 4$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} = 15 x + 4$$
преобразуем
$$\left(- 15 x + \left(1 x^{3} - 64\right)\right) + 60 = 0$$
или
$$\left(- 15 x + \left(1 x^{3} - 4^{3}\right)\right) + 4 \cdot 15 = 0$$
$$- 15 \left(x - 4\right) + 1 \left(x^{3} - 4^{3}\right) = 0$$
$$1 \left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4^{2}\right) - 15 \left(x - 4\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -4 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 4\right) \left(1 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4^{2}\right) - 15\right) = 0$$
или
$$\left(x - 4\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 4$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 4 x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (1) * (1) = 12

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Упростить
$$x_{3} = -2 - \sqrt{3}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для x^3 - (15*x - 4) = 0:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -2 - \sqrt{3}$$

Быстрый ответ

x1 = 4

$$x_{1} = 4$$

            ___
x2 = -2 - \/ 3 

$$x_{2} = -2 - \sqrt{3}$$

            ___
x3 = -2 + \/ 3 

$$x_{3} = -2 + \sqrt{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___          ___
0 + 4 + -2 - \/ 3  + -2 + \/ 3 

$$\left(-2 + \sqrt{3}\right) + \left(\left(-2 - \sqrt{3}\right) + \left(0 + 4\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /       ___\ /       ___\
1*4*\-2 - \/ 3 /*\-2 + \/ 3 /

$$1 \cdot 4 \left(-2 - \sqrt{3}\right) \left(-2 + \sqrt{3}\right)$$

=

4

$$4$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -15$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -4$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -15$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -4$$

Численный ответ

x1 = -3.73205080756888

x2 = 4.0

x3 = -0.267949192431123

График