x^3=5/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=5/2

Вы ввели

 3      
x  = 5/2

$$x^{3} = \frac{5}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{5}{2}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}$$
или
$$x = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^2/3*5^1/3/2

Получим ответ: x = 2^(2/3)*5^(1/3)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{5}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{5}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$

Быстрый ответ

      2/3 3 ___
     2   *\/ 5 
x1 = ----------
         2     

$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{2}$$

        2/3 3 ___      2/3   ___ 3 ___
       2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 
x2 = - ---------- - ------------------
           4                4         

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$

        2/3 3 ___      2/3   ___ 3 ___
       2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 
x3 = - ---------- + ------------------
           4                4         

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} \sqrt{3} \sqrt[3]{5}$$

Численный ответ

x1 = 1.35720880830000

x2 = -0.678604404149 - 1.17537730623*i

x3 = -0.678604404149 + 1.17537730623*i

График