x^3=100 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=100

Вы ввели

 3      
x  = 100

$$x^{3} = 100$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = 100$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{100}$$
или
$$x = 10^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 10^2/3

Получим ответ: x = 10^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 100$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 100$$
где
$$r = 10^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 10^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 10^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

       2/3
x1 = 10   

$$x_{1} = 10^{\frac{2}{3}}$$

         2/3       ___   2/3
       10      I*\/ 3 *10   
x2 = - ----- - -------------
         2           2      

$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

         2/3       ___   2/3
       10      I*\/ 3 *10   
x3 = - ----- + -------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                2/3       ___   2/3       2/3       ___   2/3
      2/3     10      I*\/ 3 *10        10      I*\/ 3 *10   
0 + 10    + - ----- - ------------- + - ----- + -------------
                2           2             2           2      

$$\left(\left(0 + 10^{\frac{2}{3}}\right) - \left(\frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        /    2/3       ___   2/3\ /    2/3       ___   2/3\
    2/3 |  10      I*\/ 3 *10   | |  10      I*\/ 3 *10   |
1*10   *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|
        \    2           2      / \    2           2      /

$$1 \cdot 10^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{10^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

100

$$100$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -100$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -100$$

Численный ответ

x1 = -2.32079441680639 - 4.01973384383085*i

x2 = 4.64158883361278

x3 = -2.32079441680639 + 4.01973384383085*i

График