x^3=(33/5) (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=(33/5)

Вы ввели

 3       
x  = 33/5

$$x^{3} = \frac{33}{5}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{33}{5}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{33}{5}}$$
или
$$x = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^2/3*33^1/3/5

Получим ответ: x = 5^(2/3)*33^(1/3)/5

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{33}{5}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{33}{5}$$
где
$$r = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}$$
$$z_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}$$
$$x_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$

Быстрый ответ

      2/3 3 ____
     5   *\/ 33 
x1 = -----------
          5     

$$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}$$

        2/3 3 ____      5/6  2/3 3 ____
       5   *\/ 33    I*3   *5   *\/ 11 
x2 = - ----------- - ------------------
            10               10        

$$x_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$

        2/3 3 ____      5/6  2/3 3 ____
       5   *\/ 33    I*3   *5   *\/ 11 
x3 = - ----------- + ------------------
            10               10        

$$x_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$$

Численный ответ

x1 = -0.937888727683 - 1.62447092819*i

x2 = 1.87577745537000

x3 = -0.937888727683 + 1.62447092819*i

График