x^8 + 1 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8 + 1 = 0

Вы ввели

 8        
x  + 1 = 0

$$x^{8} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

Быстрый ответ

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
x1 = -   /   - - -----  + I*  /   - + ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   

$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
x2 =   /   - - -----  - I*  /   - + ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   

$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
x3 = -   /   - + -----  - I*  /   - - ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   

$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
x4 =   /   - + -----  + I*  /   - - ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   

$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

       /           ___________              ___________\              ___________              ___________
       |          /       ___              /       ___ |             /       ___              /       ___ 
       |  ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  |     ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  
       |\/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- |   \/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *  /   - - ----- 
       |      \/    2     4            \/    2     4   |         \/    2     4            \/    2     4   
x5 = I*|---------------------- + ----------------------| + ---------------------- - ----------------------
       \          2                        2           /             2                        2           

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\right)$$

       /           ___________              ___________\              ___________              ___________
       |          /       ___              /       ___ |             /       ___              /       ___ 
       |  ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  |     ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  
       |\/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- 
       |      \/    2     4            \/    2     4   |         \/    2     4            \/    2     4   
x6 = I*|---------------------- - ----------------------| + ---------------------- + ----------------------
       \          2                        2           /             2                        2           

$$x_{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}\right)$$

       /           ___________              ___________\              ___________              ___________
       |          /       ___              /       ___ |             /       ___              /       ___ 
       |  ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  |     ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  
       |\/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *  /   - - ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- 
       |      \/    2     4            \/    2     4   |         \/    2     4            \/    2     4   
x7 = I*|---------------------- - ----------------------| - ---------------------- - ----------------------
       \          2                        2           /             2                        2           

$$x_{7} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\right)$$

       /             ___________              ___________\              ___________              ___________
       |            /       ___              /       ___ |             /       ___              /       ___ 
       |    ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  |     ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2  
       |  \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *  /   - + ----- 
       |        \/    2     4            \/    2     4   |         \/    2     4            \/    2     4   
x8 = I*|- ---------------------- - ----------------------| + ---------------------- - ----------------------
       \            2                        2           /             2                        2           

$$x_{8} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}\right)$$

Численный ответ

x1 = 0.923879532511287 - 0.38268343236509*i

x2 = 0.923879532511287 + 0.38268343236509*i

x3 = -0.38268343236509 - 0.923879532511287*i

x4 = 0.38268343236509 - 0.923879532511287*i

x5 = -0.923879532511287 - 0.38268343236509*i

x6 = 0.38268343236509 + 0.923879532511287*i

x7 = -0.38268343236509 + 0.923879532511287*i

x8 = -0.923879532511287 + 0.38268343236509*i

График