z^4-12=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4-12=0

Вы ввели

 4         
z  - 12 = 0

$$z^{4} - 12 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} - 12 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \sqrt[4]{12}$$
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{12}$$
или
$$z = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$z = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = sqrt2*3^1/4

Получим ответ: z = sqrt(2)*3^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -sqrt2*3^1/4

Получим ответ: z = -sqrt(2)*3^(1/4)
или
$$z_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 12$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 12$$
где
$$r = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$w_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$w_{3} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$z_{3} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$

Быстрый ответ

        ___ 4 ___
z1 = -\/ 2 *\/ 3 

$$z_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$

       ___ 4 ___
z2 = \/ 2 *\/ 3 

$$z_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$

          ___ 4 ___
z3 = -I*\/ 2 *\/ 3 

$$z_{3} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$

         ___ 4 ___
z4 = I*\/ 2 *\/ 3 

$$z_{4} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

    ___ 4 ___     ___ 4 ___       ___ 4 ___       ___ 4 ___
- \/ 2 *\/ 3  + \/ 2 *\/ 3  - I*\/ 2 *\/ 3  + I*\/ 2 *\/ 3 

$$\left(\left(- \sqrt{2} \sqrt[4]{3} + \sqrt{2} \sqrt[4]{3}\right) - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i\right) + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$

=

0

$$0$$

произведение

   ___ 4 ___   ___ 4 ___ /     ___ 4 ___\     ___ 4 ___
-\/ 2 *\/ 3 *\/ 2 *\/ 3 *\-I*\/ 2 *\/ 3 /*I*\/ 2 *\/ 3 

$$- \sqrt{2} \sqrt[4]{3} \sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(- \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i\right) \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i$$

=

-12

$$-12$$

Численный ответ

z1 = 1.8612097182042

z2 = -1.8612097182042*i

z3 = -1.8612097182042

z4 = 1.8612097182042*i

График