z^4=2i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=2i

Вы ввели

 4      
z  = 2*I

$$z^{4} = 2 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 2 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = 2*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 2 i$$
где
$$r = \sqrt[4]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

                  ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
       4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z1 = - \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + ----- 
             \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{1} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

                ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z2 = \/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + ----- 
           \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{2} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

                  ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
       4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z3 = - \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- 
             \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{3} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

                ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z4 = \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
           \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{4} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                 ___________                ___________              ___________                ___________                ___________                ___________              ___________                ___________
                /       ___                /       ___              /       ___                /       ___                /       ___                /       ___              /       ___                /       ___ 
      4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
0 + - \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + -----  + \/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + -----  + - \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - -----  + \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
            \/    2     4              \/    2     4            \/    2     4              \/    2     4              \/    2     4              \/    2     4            \/    2     4              \/    2     4   

$$\left(\left(- \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) - \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) + \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /             ___________                ___________\ /           ___________                ___________\ /             ___________                ___________\ /           ___________                ___________\
  |            /       ___                /       ___ | |          /       ___                /       ___ | |            /       ___                /       ___ | |          /       ___                /       ___ |
  |  4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  | |4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  | |  4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  | |4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  |
1*|- \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + ----- |*|\/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + ----- |*|- \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- |*|\/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- |
  \        \/    2     4              \/    2     4   / \      \/    2     4              \/    2     4   / \        \/    2     4              \/    2     4   / \      \/    2     4              \/    2     4   /

$$1 \left(- \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

-2*I

$$- 2 i$$

Численный ответ

z1 = -1.09868411346781 - 0.455089860562227*i

z2 = -0.455089860562227 + 1.09868411346781*i

z3 = 1.09868411346781 + 0.455089860562227*i

z4 = 0.455089860562227 - 1.09868411346781*i