z^2+1+5i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2+1+5i=0

Вы ввели

 2              
z  + 1 + 5*I = 0

$$z^{2} + 1 + 5 i = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1 + 5 i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1 + 5*i) = -4 - 20*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{\sqrt{-4 - 20 i}}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{-4 - 20 i}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

       4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\
z1 = - \/ 26 *sin|-------| + I*\/ 26 *cos|-------|
                 \   2   /               \   2   /

$$z_{1} = - \sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}$$

     4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\
z2 = \/ 26 *sin|-------| - I*\/ 26 *cos|-------|
               \   2   /               \   2   /

$$z_{2} = \sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\   4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\
0 + - \/ 26 *sin|-------| + I*\/ 26 *cos|-------| + \/ 26 *sin|-------| - I*\/ 26 *cos|-------|
                \   2   /               \   2   /             \   2   /               \   2   /

$$\left(\sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}\right) - \left(\sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /  4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\\ /4 ____    /atan(5)\     4 ____    /atan(5)\\
1*|- \/ 26 *sin|-------| + I*\/ 26 *cos|-------||*|\/ 26 *sin|-------| - I*\/ 26 *cos|-------||
  \            \   2   /               \   2   // \          \   2   /               \   2   //

$$1 \left(- \sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{26} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{26} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

                                         2
   ____ /       /atan(5)\      /atan(5)\\ 
-\/ 26 *|- I*cos|-------| + sin|-------|| 
        \       \   2   /      \   2   // 

$$- \sqrt{26} \left(\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)} - i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2} \right)}\right)^{2}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1 + 5 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = 1 + 5 i$$

Численный ответ

z1 = 1.43161089573822 - 1.74628455779589*i

z2 = -1.43161089573822 + 1.74628455779589*i