z^2=1+i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2=1+i

Вы ввели

 2        
z  = 1 + I

$$z^{2} = 1 + i$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$z^{2} = 1 + i$$
в
$$z^{2} + \left(-1 - i\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1 - i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1 - i) = 4 + 4*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{\sqrt{4 + 4 i}}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{4 + 4 i}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

                  ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
       4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z1 = - \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- 
             \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{1} = - \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

                ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
z2 = \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
           \/    2     4              \/    2     4   

$$z_{2} = \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___________                ___________              ___________                ___________
            /       ___                /       ___              /       ___                /       ___ 
  4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2     4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  
- \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - -----  + \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
        \/    2     4              \/    2     4            \/    2     4              \/    2     4   

$$\left(- \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/             ___________                ___________\ /           ___________                ___________\
|            /       ___                /       ___ | |          /       ___                /       ___ |
|  4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  | |4 ___    /  1   \/ 2       4 ___    /  1   \/ 2  |
|- \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- |*|\/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- |
\        \/    2     4              \/    2     4   / \      \/    2     4              \/    2     4   /

$$\left(- \sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

                                          2 
       /   ___________        ___________\  
   ___ |  /       ___        /       ___ |  
-\/ 2 *\\/  2 + \/ 2   + I*\/  2 - \/ 2  /  
--------------------------------------------
                     4                      

$$- \frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{\sqrt{2} + 2} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}\right)^{2}}{4}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = -1 - i$$

Численный ответ

z1 = -1.09868411346781 - 0.455089860562227*i

z2 = 1.09868411346781 + 0.455089860562227*i