z^5+32i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5+32i=0

Вы ввели

 5           
z  + 32*I = 0

$$z^{5} + 32 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} + 32 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{- 32 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[5]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2*i^1/5

Получим ответ: z = 2*(-i)^(1/5)

Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = - 32 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = - 32 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} - \frac{\pi}{10}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

z1 = -2*I

$$z_{1} = - 2 i$$

            ___________                
           /       ___      /      ___\
          /  5   \/ 5       |1   \/ 5 |
z2 = 2*  /   - + -----  + I*|- - -----|
       \/    8     8        \2     2  /

$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

            ___________                              ___________
           /       ___      /      ___\             /       ___ 
          /  5   \/ 5       |1   \/ 5 |     ___    /  5   \/ 5  
z3 = -   /   - + -----  + I*|- + -----| + \/ 5 *  /   - + ----- 
       \/    8     8        \2     2  /         \/    8     8   

$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

          ___________        ___________                                                            ___________              ___________
         /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
        /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
       /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- 
     \/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
z4 = ---------------- - ---------------- + I*|- - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ----------------------
            2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2           

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2}\right)$$

            ___________        ___________                                                            ___________              ___________
           /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
         /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- 
       \/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
z5 = - ---------------- - ---------------- + I*|- + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | + ---------------------- - ----------------------
              2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2           

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(\frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                                                                               ___________        ___________                                                            ___________              ___________          ___________        ___________                                                            ___________              ___________
                                                                                                              /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___          /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
              ___________                          ___________                              ___________      /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
             /       ___      /      ___\         /       ___      /      ___\             /       ___      /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + -----        /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- 
            /  5   \/ 5       |1   \/ 5 |        /  5   \/ 5       |1   \/ 5 |     ___    /  5   \/ 5     \/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8        \/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
-2*I + 2*  /   - + -----  + I*|- - -----| + -   /   - + -----  + I*|- + -----| + \/ 5 *  /   - + -----  + ---------------- - ---------------- + I*|- - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ---------------------- + - ---------------- - ---------------- + I*|- + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | + ---------------------- - ----------------------
         \/    8     8        \2     2  /     \/    8     8        \2     2  /         \/    8     8             2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2                       2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2           

$$\left(\left(\left(- 2 i + \left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(\frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)$$

=

                                         /           ___________      ___________\     /           ___________      ___________\
         /      ___\     /      ___\     |          /       ___      /       ___ |     |          /       ___      /       ___ |
         |1   \/ 5 |     |1   \/ 5 |     |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |     |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |
-2*I + I*|- + -----| + I*|- - -----| + I*|- - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | + I*|- + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- |
         \2     2  /     \2     2  /     \2     \/    8     8    \/    8     8   /     \2     \/    8     8    \/    8     8   /

$$- 2 i + i \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + i \left(- 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2}\right) + i \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + i \left(\frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

произведение

                                                                                                        /     ___________        ___________                                                            ___________              ___________\ /       ___________        ___________                                                            ___________              ___________\
                                                                                                        |    /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ | |      /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ |
     /       ___________                \ /       ___________                              ___________\ |   /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  | |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
     |      /       ___      /      ___\| |      /       ___      /      ___\             /       ___ | |  /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- | |    /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |
     |     /  5   \/ 5       |1   \/ 5 || |     /  5   \/ 5       |1   \/ 5 |     ___    /  5   \/ 5  | |\/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   | |  \/    8     8      \/    8     8        |1        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   |
-2*I*|2*  /   - + -----  + I*|- - -----||*|-   /   - + -----  + I*|- + -----| + \/ 5 *  /   - + ----- |*|---------------- - ---------------- + I*|- - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ----------------------|*|- ---------------- - ---------------- + I*|- + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- | + ---------------------- - ----------------------|
     \  \/    8     8        \2     2  // \  \/    8     8        \2     2  /         \/    8     8   / \       2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2           / \         2                  2             \2     \/    8     8    \/    8     8   /             2                        2           /

$$- 2 i \left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(\frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)$$

=

                                 _______________        ______________
     _______________            /           ___        /          ___ 
    /           ___           \/  50 + 10*\/ 5     5*\/  10 + 2*\/ 5  
- \/  50 - 10*\/ 5   - 32*I - ------------------ + -------------------
                                      2                     2         

$$- \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{2} + \frac{5 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2} - 32 i$$

Численный ответ

z1 = -1.17557050458495 + 1.61803398874989*i

z2 = -1.90211303259031 - 0.618033988749895*i

z3 = 1.17557050458495 + 1.61803398874989*i

z4 = -2.0*i

z5 = 1.90211303259031 - 0.618033988749895*i