z^6-9*z^3+8=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^6-9*z^3+8=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:z 6 − 9 z 3 + 8 = 0 z^{6} - 9 z^{3} + 8 = 0 z 6 − 9 z 3 + 8 = 0 Сделаем заменуv = z 3 v = z^{3} v = z 3 тогда ур-ние будет таким:v 2 − 9 v + 8 = 0 v^{2} - 9 v + 8 = 0 v 2 − 9 v + 8 = 0 Это уравнение видаa*v^2 + b*v + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:v 1 = D − b 2 a v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} v 1 = 2 a D − b v 2 = − D − b 2 a v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} v 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 1 a = 1 a = 1 b = − 9 b = -9 b = − 9 c = 8 c = 8 c = 8 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (-9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиv 1 = 8 v_{1} = 8 v 1 = 8 Упростить v 2 = 1 v_{2} = 1 v 2 = 1 Упростить Получаем окончательный ответ: Т.к.v = z 3 v = z^{3} v = z 3 тоz 1 = v 1 3 z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}} z 1 = 3 v 1 z 3 = v 2 3 z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}} z 3 = 3 v 2 тогда:z 1 = z_{1} = z 1 = 0 1 + 1 ⋅ 8 1 3 1 = 2 \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 8^{\frac{1}{3}}}{1} = 2 1 0 + 1 1 ⋅ 8 3 1 = 2 z 3 = z_{3} = z 3 = 0 1 + 1 ⋅ 1 1 3 1 = 1 \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}{1} = 1 1 0 + 1 1 ⋅ 1 3 1 = 1
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 -5000000 5000000
z 3 = − 1 − 3 i z_{3} = -1 - \sqrt{3} i z 3 = − 1 − 3 i z 4 = − 1 + 3 i z_{4} = -1 + \sqrt{3} i z 4 = − 1 + 3 i ___
1 I*\/ 3
z5 = - - - -------
2 2 z 5 = − 1 2 − 3 i 2 z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} z 5 = − 2 1 − 2 3 i ___
1 I*\/ 3
z6 = - - + -------
2 2 z 6 = − 1 2 + 3 i 2 z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} z 6 = − 2 1 + 2 3 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ ___
___ ___ 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
0 + 1 + 2 + -1 - I*\/ 3 + -1 + I*\/ 3 + - - - ------- + - - + -------
2 2 2 2 ( ( − 1 2 − 3 i 2 ) + ( ( ( ( 0 + 1 ) + 2 ) − ( 1 + 3 i ) ) − ( 1 − 3 i ) ) ) − ( 1 2 − 3 i 2 ) \left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(0 + 1\right) + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) ( ( − 2 1 − 2 3 i ) + ( ( ( ( 0 + 1 ) + 2 ) − ( 1 + 3 i ) ) − ( 1 − 3 i ) ) ) − ( 2 1 − 2 3 i ) / ___\ / ___\
/ ___\ / ___\ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 |
1*1*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*|- - - -------|*|- - + -------|
\ 2 2 / \ 2 2 / 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ( − 1 − 3 i ) ( − 1 + 3 i ) ( − 1 2 − 3 i 2 ) ( − 1 2 + 3 i 2 ) 1 \cdot 1 \cdot 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ( − 1 − 3 i ) ( − 1 + 3 i ) ( − 2 1 − 2 3 i ) ( − 2 1 + 2 3 i ) z2 = -0.5 + 0.866025403784439*i z3 = -1.0 + 1.73205080756888*i z4 = -1.0 - 1.73205080756888*i z6 = -0.5 - 0.866025403784439*i