z^6-9*z^3+8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6-9*z^3+8=0

Вы ввели

 6      3        
z  - 9*z  + 8 = 0

$$z^{6} - 9 z^{3} + 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$z^{6} - 9 z^{3} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = z^{3}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 9 v + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -9$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
Упростить
$$v_{2} = 1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = z^{3}$$
то
$$z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$z_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 8^{\frac{1}{3}}}{1} = 2$$
$$z_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}{1} = 1$$

Быстрый ответ

z1 = 1

$$z_{1} = 1$$

z2 = 2

$$z_{2} = 2$$

              ___
z3 = -1 - I*\/ 3 

$$z_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
z4 = -1 + I*\/ 3 

$$z_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z5 = - - - -------
       2      2   

$$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z6 = - - + -------
       2      2   

$$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                    ___             ___
                     ___            ___     1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + 1 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3  + - - - ------- + - - + -------
                                            2      2        2      2   

$$\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(0 + 1\right) + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                                    /          ___\ /          ___\
      /         ___\ /         ___\ |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*1*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*|- - - -------|*|- - + -------|
                                    \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \cdot 1 \cdot 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

8

$$8$$

Численный ответ

z1 = 2.0

z2 = -0.5 + 0.866025403784439*i

z3 = -1.0 + 1.73205080756888*i

z4 = -1.0 - 1.73205080756888*i

z5 = 1.0

z6 = -0.5 - 0.866025403784439*i

График