z^6+64i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6+64i=0

Вы ввели

 6           
z  + 64*I = 0

$$z^{6} + 64 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} + 64 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -64*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = - 64 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = - 64 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
z1 = - \/ 2  - I*\/ 2 

$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$

       ___       ___
z2 = \/ 2  + I*\/ 2 

$$z_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

       ___     ___     /    ___     ___\
     \/ 6    \/ 2      |  \/ 2    \/ 6 |
z3 = ----- - ----- + I*|- ----- - -----|
       2       2       \    2       2  /

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

       ___     ___     /  ___     ___\
     \/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 |
z4 = ----- + ----- + I*|----- - -----|
       2       2       \  2       2  /

$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

         ___     ___     /  ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |\/ 6    \/ 2 |
z5 = - ----- - ----- + I*|----- - -----|
         2       2       \  2       2  /

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

       ___     ___     /  ___     ___\
     \/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 |
z6 = ----- - ----- + I*|----- + -----|
       2       2       \  2       2  /

$$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                        ___     ___     /    ___     ___\     ___     ___     /  ___     ___\       ___     ___     /  ___     ___\     ___     ___     /  ___     ___\
    ___       ___     ___       ___   \/ 6    \/ 2      |  \/ 2    \/ 6 |   \/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 |     \/ 2    \/ 6      |\/ 6    \/ 2 |   \/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 |
- \/ 2  - I*\/ 2  + \/ 2  + I*\/ 2  + ----- - ----- + I*|- ----- - -----| + ----- + ----- + I*|----- - -----| + - ----- - ----- + I*|----- - -----| + ----- - ----- + I*|----- + -----|
                                        2       2       \    2       2  /     2       2       \  2       2  /       2       2       \  2       2  /     2       2       \  2       2  /

$$\left(\left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + \left(\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right)$$

=

  /  ___     ___\     /  ___     ___\     /  ___     ___\     /    ___     ___\
  |\/ 2    \/ 6 |     |\/ 2    \/ 6 |     |\/ 6    \/ 2 |     |  \/ 2    \/ 6 |
I*|----- + -----| + I*|----- - -----| + I*|----- - -----| + I*|- ----- - -----|
  \  2       2  /     \  2       2  /     \  2       2  /     \    2       2  /

$$i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right) + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

произведение

                                      /  ___     ___     /    ___     ___\\ /  ___     ___     /  ___     ___\\ /    ___     ___     /  ___     ___\\ /  ___     ___     /  ___     ___\\
/    ___       ___\ /  ___       ___\ |\/ 6    \/ 2      |  \/ 2    \/ 6 || |\/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 || |  \/ 2    \/ 6      |\/ 6    \/ 2 || |\/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 ||
\- \/ 2  - I*\/ 2 /*\\/ 2  + I*\/ 2 /*|----- - ----- + I*|- ----- - -----||*|----- + ----- + I*|----- - -----||*|- ----- - ----- + I*|----- - -----||*|----- - ----- + I*|----- + -----||
                                      \  2       2       \    2       2  // \  2       2       \  2       2  // \    2       2       \  2       2  // \  2       2       \  2       2  //

$$\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\right)$$

=

64*I

$$64 i$$

Численный ответ

z1 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i

z2 = -0.517638090205041 + 1.93185165257814*i

z3 = 0.517638090205041 - 1.93185165257814*i

z4 = 1.93185165257814 - 0.517638090205041*i

z5 = -1.93185165257814 + 0.517638090205041*i

z6 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i