Решение уравнений/ Любые/ z^6=1/i

z^6=1/i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^6=1/i

    Виды выражений

    комплексные числа z^6=1/i

    Решение

    Вы ввели [src]
     6     1
z  = 1*-
       I
    $$z^{6} = 1 \cdot \frac{1}{i}$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{6} = 1 \cdot \frac{1}{i}$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -i комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{6} = - i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = - i$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = - i$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = - i$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = 0$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = -1$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$w_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
    $$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
    $$w_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
    $$w_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
    $$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
             ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2
    $$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    Упростить
           ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z2 = ----- + -------
       2        2
    $$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
    Упростить
             ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |
z3 = - ----- + ----- + I*|- ----- - -----|
         4       4       \    4       4  /
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$
    Упростить
           ___     ___     /    ___     ___\
     \/ 2    \/ 6      |  \/ 6    \/ 2 |
z4 = ----- + ----- + I*|- ----- + -----|
       4       4       \    4       4  /
    $$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$
    Упростить
             ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |
z5 = - ----- - ----- + I*|- ----- + -----|
         4       4       \    4       4  /
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$
    Упростить
             ___     ___     /  ___     ___\
       \/ 6    \/ 2      |\/ 2    \/ 6 |
z6 = - ----- + ----- + I*|----- + -----|
         4       4       \  4       4  /
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$
    Упростить
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
            ___       ___     ___       ___       ___     ___     /    ___     ___\     ___     ___     /    ___     ___\       ___     ___     /    ___     ___\       ___     ___     /  ___     ___\
      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |   \/ 2    \/ 6      |  \/ 6    \/ 2 |     \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |     \/ 6    \/ 2      |\/ 2    \/ 6 |
0 + - ----- - ------- + ----- + ------- + - ----- + ----- + I*|- ----- - -----| + ----- + ----- + I*|- ----- + -----| + - ----- - ----- + I*|- ----- + -----| + - ----- + ----- + I*|----- + -----|
        2        2        2        2          4       4       \    4       4  /     4       4       \    4       4  /       4       4       \    4       4  /       4       4       \  4       4  /
    $$\left(\left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) + \left(\left(0 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)\right)$$
    =
      /    ___     ___\     /    ___     ___\     /    ___     ___\     /  ___     ___\
  |  \/ 2    \/ 6 |     |  \/ 2    \/ 6 |     |  \/ 6    \/ 2 |     |\/ 2    \/ 6 |
I*|- ----- - -----| + I*|- ----- + -----| + I*|- ----- + -----| + I*|----- + -----|
  \    4       4  /     \    4       4  /     \    4       4  /     \  4       4  /
    $$i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right) + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$
    произведение
      /    ___       ___\ /  ___       ___\ /    ___     ___     /    ___     ___\\ /  ___     ___     /    ___     ___\\ /    ___     ___     /    ___     ___\\ /    ___     ___     /  ___     ___\\
  |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 || |\/ 2    \/ 6      |  \/ 6    \/ 2 || |  \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 || |  \/ 6    \/ 2      |\/ 2    \/ 6 ||
1*|- ----- - -------|*|----- + -------|*|- ----- + ----- + I*|- ----- - -----||*|----- + ----- + I*|- ----- + -----||*|- ----- - ----- + I*|- ----- + -----||*|- ----- + ----- + I*|----- + -----||
  \    2        2   / \  2        2   / \    4       4       \    4       4  // \  4       4       \    4       4  // \    4       4       \    4       4  // \    4       4       \  4       4  //
    $$1 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)\right)$$
    =
    I
    $$i$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.258819045102521 - 0.965925826289068*i
    z2 = -0.258819045102521 + 0.965925826289068*i
    z3 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
    z4 = 0.965925826289068 - 0.258819045102521*i
    z5 = -0.965925826289068 + 0.258819045102521*i
    z6 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i