z^6=64 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6=64

Вы ввели

 6     
z  = 64

$$z^{6} = 64$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} = 64$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{64}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{64} \left(-1\right)$$
или
$$z = 2$$
$$z = -2$$
Получим ответ: z = 2
Получим ответ: z = -2
или
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = 64$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 64$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -2$$
$$w_{2} = 2$$
$$w_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$w_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$z_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

z1 = -2

$$z_{1} = -2$$

z2 = 2

$$z_{2} = 2$$

              ___
z3 = -1 - I*\/ 3 

$$z_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
z4 = -1 + I*\/ 3 

$$z_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$

             ___
z5 = 1 - I*\/ 3 

$$z_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$

             ___
z6 = 1 + I*\/ 3 

$$z_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                     ___            ___           ___           ___
0 - 2 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3  + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 

$$\left(\left(1 - \sqrt{3} i\right) + \left(\left(\left(\left(-2 + 0\right) + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /         ___\ /         ___\ /        ___\ /        ___\
1*-2*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /

$$1 \left(-2\right) 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

-64

$$-64$$

Численный ответ

z1 = 1.0 + 1.73205080756888*i

z2 = 2.0

z3 = 1.0 - 1.73205080756888*i

z4 = -1.0 + 1.73205080756888*i

z5 = -1.0 - 1.73205080756888*i

z6 = -2.0

График