z^3=-2i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-2i

Вы ввели

 3       
z  = -2*I

$$z^{3} = - 2 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = - 2 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 2 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^1/3-i^1/3

Получим ответ: z = 2^(1/3)*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 i$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

       3 ___
z1 = I*\/ 2 

$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$

         3 ___   3 ___   ___
       I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
z2 = - ------- - -----------
          2           2     

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

     3 ___   ___     3 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 
z3 = ----------- - -------
          2           2   

$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$

Численный ответ

z1 = 1.25992104989487*i

z2 = -1.09112363597172 - 0.629960524947437*i

z3 = 1.09112363597172 - 0.629960524947437*i