z^3=-64 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-64

Вы ввели

 3      
z  = -64

$$z^{3} = -64$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = -64$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-64}$$
или
$$z = 4 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -4*1^1/3

Получим ответ: z = 4*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -64$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -64$$
где
$$r = 4$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -4$$
$$w_{2} = 2 - 2 \sqrt{3} i$$
$$w_{3} = 2 + 2 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -4$$
$$z_{2} = 2 - 2 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 2 + 2 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

z1 = -4

$$z_{1} = -4$$

               ___
z2 = 2 - 2*I*\/ 3 

$$z_{2} = 2 - 2 \sqrt{3} i$$

               ___
z3 = 2 + 2*I*\/ 3 

$$z_{3} = 2 + 2 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___             ___
-4 + 2 - 2*I*\/ 3  + 2 + 2*I*\/ 3 

$$\left(-4 + \left(2 - 2 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(2 + 2 \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

   /          ___\ /          ___\
-4*\2 - 2*I*\/ 3 /*\2 + 2*I*\/ 3 /

$$- 4 \left(2 - 2 \sqrt{3} i\right) \left(2 + 2 \sqrt{3} i\right)$$

=

-64

$$-64$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 64$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 64$$

Численный ответ

z1 = 2.0 + 3.46410161513775*i

z2 = 2.0 - 3.46410161513775*i

z3 = -4.0

График