Решение уравнений/ Любые/ z^8=10+10i

z^8=10+10i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^8=10+10i

    Решение

    Вы ввели [src]
     8            
z  = 10 + 10*I
    $$z^{8} = 10 + 10 i$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{8} = 10 + 10 i$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = 10 + 10*i комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{8} = 10 + 10 i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{8} e^{8 i p} = 10 + 10 i$$
    где
    $$r = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{8 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(10 + 10 i\right)}{20}$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(10 + 10 i\right)}{20}$$
    значит
    $$\cos{\left(8 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    и
    $$\sin{\left(8 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{32}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$w_{2} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$w_{3} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$w_{4} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$w_{5} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$w_{6} = \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$w_{7} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$w_{8} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$z_{2} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$z_{3} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$z_{4} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
    $$z_{5} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$z_{6} = \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$z_{7} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    $$z_{8} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
            3/16 8 ___    /pi\      3/16 8 ___    /pi\
z1 = - 2    *\/ 5 *sin|--| + I*2    *\/ 5 *cos|--|
                      \32/                    \32/
    $$z_{1} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
          3/16 8 ___    /pi\      3/16 8 ___    /pi\
z2 = 2    *\/ 5 *sin|--| - I*2    *\/ 5 *cos|--|
                    \32/                    \32/
    $$z_{2} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
            3/16 8 ___    /pi\      3/16 8 ___    /pi\
z3 = - 2    *\/ 5 *cos|--| - I*2    *\/ 5 *sin|--|
                      \32/                    \32/
    $$z_{3} = - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} - 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
          3/16 8 ___    /pi\      3/16 8 ___    /pi\
z4 = 2    *\/ 5 *cos|--| + I*2    *\/ 5 *sin|--|
                    \32/                    \32/
    $$z_{4} = 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)} + 2^{\frac{3}{16}} \sqrt[8]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}$$
           / 11                  11              \    11                  11              
       | --                  --              |    --                  --              
       | 16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\|    16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\
       |2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--||   2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--|
       |             \32/                \32/|                \32/                \32/
z5 = I*|----------------- + -----------------| + ----------------- - -----------------
       \        2                   2        /           2                   2
    $$z_{5} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)$$
           / 11                  11              \    11                  11              
       | --                  --              |    --                  --              
       | 16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\|    16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\
       |2  *\/ 5 *sin|--|   2  *\/ 5 *cos|--||   2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--|
       |             \32/                \32/|                \32/                \32/
z6 = I*|----------------- - -----------------| + ----------------- + -----------------
       \        2                   2        /           2                   2
    $$z_{6} = \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)$$
           / 11                  11              \    11                  11              
       | --                  --              |    --                  --              
       | 16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\|    16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\
       |2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--||   2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--|
       |             \32/                \32/|                \32/                \32/
z7 = I*|----------------- - -----------------| - ----------------- - -----------------
       \        2                   2        /           2                   2
    $$z_{7} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)$$
           /   11                  11              \    11                  11              
       |   --                  --              |    --                  --              
       |   16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\|    16 8 ___    /pi\    16 8 ___    /pi\
       |  2  *\/ 5 *cos|--|   2  *\/ 5 *sin|--||   2  *\/ 5 *sin|--|   2  *\/ 5 *cos|--|
       |               \32/                \32/|                \32/                \32/
z8 = I*|- ----------------- - -----------------| + ----------------- - -----------------
       \          2                   2        /           2                   2
    $$z_{8} = - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{11}{16}} \sqrt[8]{5} \sin{\left(\frac{\pi}{32} \right)}}{2}\right)$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.07646457319309 + 0.883431644297999*i
    z2 = 0.883431644297999 + 1.07646457319309*i
    z3 = 1.07646457319309 - 0.883431644297999*i
    z4 = 1.38585590580982 + 0.136494893014023*i
    z5 = -1.38585590580982 - 0.136494893014023*i
    z6 = 0.136494893014023 - 1.38585590580982*i
    z7 = -0.883431644297999 - 1.07646457319309*i
    z8 = -0.136494893014023 + 1.38585590580982*i