z^2-(2+2i)z-(5+14i) (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^2-(2+2i)z-(5+14i)

    Решение

    Вы ввели [src]
     2                              
    z  - (2 + 2*I)*z + -5 - 14*I = 0
    (z2z(2+2i))+(514i)=0\left(z^{2} - z \left(2 + 2 i\right)\right) + \left(-5 - 14 i\right) = 0
    Подробное решение
    Раскроем выражение в уравнении
    (z2z(2+2i))+(514i)=0\left(z^{2} - z \left(2 + 2 i\right)\right) + \left(-5 - 14 i\right) = 0
    Получаем квадратное уравнение
    z22z2iz514i=0z^{2} - 2 z - 2 i z - 5 - 14 i = 0
    Это уравнение вида
    a*z^2 + b*z + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    z1=Db2az_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    z2=Db2az_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=22ib = -2 - 2 i
    c=514ic = -5 - 14 i
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2 - 2*i)^2 - 4 * (1) * (-5 - 14*i) = 20 + (-2 - 2*i)^2 + 56*i

    Уравнение имеет два корня.
    z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    z1=1+i+20+(22i)2+56i2z_{1} = 1 + i + \frac{\sqrt{20 + \left(-2 - 2 i\right)^{2} + 56 i}}{2}
    Упростить
    z2=120+(22i)2+56i2+iz_{2} = 1 - \frac{\sqrt{20 + \left(-2 - 2 i\right)^{2} + 56 i}}{2} + i
    Упростить
    График
    Быстрый ответ [src]
               /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\
    z1 = 1 + I*|1 + \/ 281 *sin|----------|| + \/ 281 *cos|----------|
               \               \    2     //              \    2     /
    z1=1+2814cos(atan(165)2)+i(1+2814sin(atan(165)2))z_{1} = 1 + \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + i \left(1 + \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)}\right)
               /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\
    z2 = 1 + I*|1 - \/ 281 *sin|----------|| - \/ 281 *cos|----------|
               \               \    2     //              \    2     /
    z2=2814cos(atan(165)2)+1+i(2814sin(atan(165)2)+1)z_{2} = - \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1 + i \left(- \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1\right)
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
          /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\         /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\
    1 + I*|1 + \/ 281 *sin|----------|| + \/ 281 *cos|----------| + 1 + I*|1 - \/ 281 *sin|----------|| - \/ 281 *cos|----------|
          \               \    2     //              \    2     /         \               \    2     //              \    2     /
    (2814cos(atan(165)2)+1+i(2814sin(atan(165)2)+1))+(1+2814cos(atan(165)2)+i(1+2814sin(atan(165)2)))\left(- \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1 + i \left(- \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1\right)\right) + \left(1 + \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + i \left(1 + \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)}\right)\right)
    =
          /    4 _____    /atan(16/5)\\     /    4 _____    /atan(16/5)\\
    2 + I*|1 + \/ 281 *sin|----------|| + I*|1 - \/ 281 *sin|----------||
          \               \    2     //     \               \    2     //
    2+i(2814sin(atan(165)2)+1)+i(1+2814sin(atan(165)2))2 + i \left(- \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1\right) + i \left(1 + \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)}\right)
    произведение
    /      /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\\ /      /    4 _____    /atan(16/5)\\   4 _____    /atan(16/5)\\
    |1 + I*|1 + \/ 281 *sin|----------|| + \/ 281 *cos|----------||*|1 + I*|1 - \/ 281 *sin|----------|| - \/ 281 *cos|----------||
    \      \               \    2     //              \    2     // \      \               \    2     //              \    2     //
    (1+2814cos(atan(165)2)+i(1+2814sin(atan(165)2)))(2814cos(atan(165)2)+1+i(2814sin(atan(165)2)+1))\left(1 + \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + i \left(1 + \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)}\right)\right) \left(- \sqrt[4]{281} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1 + i \left(- \sqrt[4]{281} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{16}{5} \right)}}{2} \right)} + 1\right)\right)
    =
    -5 - 14*I
    514i-5 - 14 i
    Теорема Виета
    это приведённое квадратное уравнение
    pz+q+z2=0p z + q + z^{2} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=22ip = -2 - 2 i
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=514iq = -5 - 14 i
    Формулы Виета
    z1+z2=pz_{1} + z_{2} = - p
    z1z2=qz_{1} z_{2} = q
    z1+z2=2+2iz_{1} + z_{2} = 2 + 2 i
    z1z2=514iz_{1} z_{2} = -5 - 14 i
    Численный ответ [src]
    z1 = -2.29871600886165 - 1.42518603556925*i
    z2 = 4.29871600886165 + 3.42518603556925*i