cos(x)=cos(2*x) (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: cos(x)=cos(2*x)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    cos(x) = cos(2*x)
    $$\cos{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}$$
    преобразуем
    $$\cos{\left (x \right )} - \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
    $$- 2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -2$$
    $$b = 1$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = 1$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    x1 = 0
    $$x_{1} = 0$$
    x2 = 2*pi
    $$x_{2} = 2 \pi$$
                 /          ___\
                 |  1   I*\/ 3 |
    x3 = -2*I*log|- - - -------|
                 \  2      2   /
    $$x_{3} = - 2 i \log{\left (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
                 /          ___\
                 |  1   I*\/ 3 |
    x4 = -2*I*log|- - + -------|
                 \  2      2   /
    $$x_{4} = - 2 i \log{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
                 /        ___\
                 |1   I*\/ 3 |
    x5 = -2*I*log|- - -------|
                 \2      2   /
    $$x_{5} = - 2 i \log{\left (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
                 /        ___\
                 |1   I*\/ 3 |
    x6 = -2*I*log|- + -------|
                 \2      2   /
    $$x_{6} = - 2 i \log{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right )}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    x1 = 12.5663700883000
    x2 = 50.2654824464000
    x3 = -77.4926187885000
    x4 = 48.1710873550000
    x5 = 58.6430628670000
    x6 = -25.1327414475000
    x7 = 43.9822969706000
    x8 = 14.6607657168000
    x9 = -71.2094334814000
    x10 = 25.1327412234000
    x11 = 92.1533845053000
    x12 = 2.09439510239000
    x13 = 69.1150383780000
    x14 = -2.09439510239000
    x15 = -33.5103216383000
    x16 = 39.7935069455000
    x17 = 77.4926187885000
    x18 = -62.8318529504000
    x19 = 43.9822971694000
    x20 = -92.1533845053000
    x21 = -62.8318537995000
    x22 = -18.8495555012000
    x23 = -87.9645943588000
    x24 = -90.0589894029000
    x25 = 100.530964769000
    x26 = -56.5486675394000
    x27 = -4.18879020479000
    x28 = 52.3598775598000
    x29 = 41.8879020479000
    x30 = -31.4159267013000
    x31 = -81.6814090379000
    x32 = 25.1327411126000
    x33 = -75.3982238576000
    x34 = 12.5663704552000
    x35 = 79.5870138909000
    x36 = 8.37758040957000
    x37 = 35.6047167407000
    x38 = 54.4542726622000
    x39 = -27.2271363311000
    x40 = 81.6814091713000
    x41 = -52.3598775598000
    x42 = -73.3038285838000
    x43 = -46.0766922527000
    x44 = -6.28318514162000
    x45 = 83.7758040957000
    x46 = 69.1150383296000
    x47 = 0.0
    x48 = -18.8495558711000
    x49 = 90.0589894029000
    x50 = -10.4719755120000
    x51 = 75.3982239117000
    x52 = 31.4159267619000
    x53 = 62.8318528532000
    x54 = -37.6991118771000
    x55 = -41.8879020479000
    x56 = 60.7374579694000
    x57 = 69.1150378321000
    x58 = -100.530964691000
    x59 = 87.9645943357000
    x60 = -54.4542726622000
    x61 = 56.5486676120000
    x62 = 85.8701991981000
    x63 = 96.3421747101000
    x64 = -98.4365698125000
    x65 = 25.1327412731000
    x66 = 18.8495557025000
    x67 = 33.5103216383000
    x68 = -69.1150390954000
    x69 = -94.2477794557000
    x70 = 10.4719755120000
    x71 = 46.0766922527000
    x72 = 98.4365698125000
    x73 = 94.2477796094000
    x74 = -8.37758040957000
    x75 = -50.2654822985000
    x76 = -18.8495558410000
    x77 = -29.3215314335000
    x78 = -43.9822971746000
    x79 = -79.5870138909000
    x80 = -18.8495558006000
    x81 = -83.7758040957000
    x82 = 6.28318528427000
    x83 = -39.7935069455000
    x84 = 25.1327417460000
    x85 = -85.8701991981000
    x86 = 4.18879020479000
    x87 = -96.3421747101000
    x88 = -48.1710873550000
    x89 = -35.6047167407000
    x90 = -62.8318529623000
    x91 = -12.5663703885000
    x92 = 37.6991120150000
    x93 = 16.7551608191000
    x94 = -69.1150385968000
    x95 = 69.1150384283000