График функции y = 9*x^2-12*x+3

Вы ввели

          2           
f(x) = 9*x  - 12*x + 3

$$f{\left(x \right)} = 9 x^{2} - 12 x + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$9 x^{2} - 12 x + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0.333333333333333$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 9*x^2 - 12*x + 3.
$$9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 3$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$18 x - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(2/3, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$18 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x^{2} - 12 x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2} - 12 x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 9*x^2 - 12*x + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} - 12 x + 3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} - 12 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$9 x^{2} - 12 x + 3 = 9 x^{2} + 12 x + 3$$
- Нет
$$9 x^{2} - 12 x + 3 = - 9 x^{2} - 12 x - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График