График функции y = 2*sin(x)-cos(2*x)

Вы ввели

f(x) = 2*sin(x) - cos(2*x)

$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 71.8818965998565$$
$$x_{2} = -9.79951239347812$$
$$x_{3} = 53.0323406783177$$
$$x_{4} = -68.7403039462667$$
$$x_{5} = 0.37473443270874$$
$$x_{6} = -18.47482148883$$
$$x_{7} = 46.7491553711382$$
$$x_{8} = 100.905699347582$$
$$x_{9} = -129.18003322989$$
$$x_{10} = -34.9322536221965$$
$$x_{11} = -62.4571186390871$$
$$x_{12} = 63.2065875045046$$
$$x_{13} = -72.631365465274$$
$$x_{14} = 82.0561434260434$$
$$x_{15} = -150.421712939601$$
$$x_{16} = -87.5898598678055$$
$$x_{17} = 75.7729581188638$$
$$x_{18} = 94.6225140404025$$
$$x_{19} = -81.3066745606259$$
$$x_{20} = 6.65791973988833$$
$$x_{21} = -22.3658830078373$$
$$x_{22} = -41.215438929376$$
$$x_{23} = -24.7580067960096$$
$$x_{24} = 25.5074756614271$$
$$x_{25} = 44.3570315829658$$
$$x_{26} = -47.4986242365556$$
$$x_{27} = -56.1739333319075$$
$$x_{28} = -49.890748024728$$
$$x_{29} = 38.0738462757863$$
$$x_{30} = 84.4482672142157$$
$$x_{31} = 34.182784756779$$
$$x_{32} = 65.5987112926769$$
$$x_{33} = 90.7314525213953$$
$$x_{34} = -97.7641066939923$$
$$x_{35} = -93.8730451749851$$
$$x_{36} = 15.3332288352402$$
$$x_{37} = -37.3243774103688$$
$$x_{38} = 97.0146378285748$$
$$x_{39} = -3.51632708629853$$
$$x_{40} = 31.7906609686067$$
$$x_{41} = 88.339328733223$$
$$x_{42} = -16.0826977006577$$
$$x_{43} = -28.6490683150169$$
$$x_{44} = 21.6164141424198$$
$$x_{45} = 2126.48349204758$$
$$x_{46} = -78.9145507724536$$
$$x_{47} = -91.4809213868127$$
$$x_{48} = -5.90845087447085$$
$$x_{49} = -85.1977360796332$$
$$x_{50} = 2.76685822088105$$
$$x_{51} = -53.7818095437352$$
$$x_{52} = -100.156230482165$$
$$x_{53} = 19.2242903542475$$
$$x_{54} = 9.05004352806064$$
$$x_{55} = 40.4659700639586$$
$$x_{56} = -66.3481801580944$$
$$x_{57} = -75.0234892534463$$
$$x_{58} = 78.1650819070361$$
$$x_{59} = 735.50741537272$$
$$x_{60} = 56.923402197325$$
$$x_{61} = -43.6075627175484$$
$$x_{62} = 27.8995994495994$$
$$x_{63} = 50.6402168901454$$
$$x_{64} = -12.1916361816504$$
$$x_{65} = 69.4897728116842$$
$$x_{66} = -60.0649948509148$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x) - cos(2*x).
$$- \cos{\left(0 \cdot 2 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -5*pi       
(-----, -3/2)
   6         

 -pi      
(----, -1)
  2       

 -pi        
(----, -3/2)
  6         

 pi    
(--, 3)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{33} - 1\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x) - cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График