График функции y = 2*x^3-9*x^2-24*x

Вы ввели

          3      2       
f(x) = 2*x  - 9*x  - 24*x

$$f{\left (x \right )} = - 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{273}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{273}}{4} + \frac{9}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.88067791046$$
$$x_{3} = 6.38067791046$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 - 9*x^2 - 24*x.
$$2 \cdot 0^{3} - 0 - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} - 18 x - 24 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 13)

(4, -112)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[-1, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(2 x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 - 9*x^2 - 24*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2} = - 2 x^{3} - 9 x^{2} + 24 x$$
- Нет
$$- 24 x + 2 x^{3} - 9 x^{2} = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 9 x^{2} - 24 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной