График функции y = e^x-x*e

Вы ввели

        x      
f(x) = E  - x*E

$$f{\left (x \right )} = e^{x} - e x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} - e x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999301472$$
$$x_{2} = 0.999999301293$$
$$x_{3} = 0.999999306295$$
$$x_{4} = 0.999999301581$$
$$x_{5} = 0.999999301779$$
$$x_{6} = 1.0000007867$$
$$x_{7} = 0.999999303314$$
$$x_{8} = 0.999999303597$$
$$x_{9} = 0.999999307418$$
$$x_{10} = 0.999999302863$$
$$x_{11} = 0.999999304841$$
$$x_{12} = 0.999999301017$$
$$x_{13} = 0.999999301524$$
$$x_{14} = 0.99999930434$$
$$x_{15} = 0.999999301376$$
$$x_{16} = 0.999999302379$$
$$x_{17} = 0.999999301123$$
$$x_{18} = 0.999999301154$$
$$x_{19} = 0.999999302681$$
$$x_{20} = 0.999999302036$$
$$x_{21} = 0.999999302521$$
$$x_{22} = 0.999999301333$$
$$x_{23} = 0.999999301422$$
$$x_{24} = 0.999999302252$$
$$x_{25} = 0.99999930095$$
$$x_{26} = 0.999999301708$$
$$x_{27} = 0.999999301186$$
$$x_{28} = 0.99999930091$$
$$x_{29} = 0.999999300873$$
$$x_{30} = 0.999999311917$$
$$x_{31} = 0.999999303072$$
$$x_{32} = 0.999999703672$$
$$x_{33} = 0.99999941348$$
$$x_{34} = 0.999999300856$$
$$x_{35} = 0.999999301068$$
$$x_{36} = 0.999999300994$$
$$x_{37} = 0.999999318352$$
$$x_{38} = 0.999999301942$$
$$x_{39} = 0.999999309073$$
$$x_{40} = 0.999999300929$$
$$x_{41} = 0.999999301857$$
$$x_{42} = 0.999999301219$$
$$x_{43} = 0.999999303934$$
$$x_{44} = 0.999999338416$$
$$x_{45} = 0.999999301255$$
$$x_{46} = 0.999999301042$$
$$x_{47} = 0.999999301095$$
$$x_{48} = 0.999999300891$$
$$x_{49} = 0.999999301642$$
$$x_{50} = 0.999999305472$$
$$x_{51} = 0.999999300971$$
$$x_{52} = 0.999999302139$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x - x*E.
$$- 0 + e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$e^{x} - e = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} - e x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - e x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x - x*E, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(e^{x} - e x\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(e^{x} - e x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} - e x = e x + e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} - e x = - e x - e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной