График функции y = cos(x)*sin(x)^(2)

Вы ввели

                 2   
f(x) = cos(x)*sin (x)

$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 78.5398162040055$$
$$x_{2} = -21.9911485864718$$
$$x_{3} = 36.1283155162826$$
$$x_{4} = 53.4070751278617$$
$$x_{5} = 91.1061875857656$$
$$x_{6} = -25.1327411700478$$
$$x_{7} = 37.6991119937168$$
$$x_{8} = 65.9734457527245$$
$$x_{9} = 65.9734451192804$$
$$x_{10} = -14.1371669411541$$
$$x_{11} = 6.28318528433976$$
$$x_{12} = -47.1238897080294$$
$$x_{13} = 31.4159265728873$$
$$x_{14} = 42.4115008234622$$
$$x_{15} = 94.2477796093527$$
$$x_{16} = -95.8185759344887$$
$$x_{17} = -1.5707963267949$$
$$x_{18} = -56.5486676717583$$
$$x_{19} = 58.1194640914112$$
$$x_{20} = -34.5575191076725$$
$$x_{21} = -3.14159262638665$$
$$x_{22} = -100.530964804106$$
$$x_{23} = -28.2743337371269$$
$$x_{24} = -31.4159266812001$$
$$x_{25} = 14.1371669411541$$
$$x_{26} = -12.5663705453118$$
$$x_{27} = -9.42477810445402$$
$$x_{28} = -58.1194640914112$$
$$x_{29} = 94.2477792514877$$
$$x_{30} = -43.982296876345$$
$$x_{31} = -43.9822971746609$$
$$x_{32} = 62.8318530302311$$
$$x_{33} = -28.2743341715057$$
$$x_{34} = 86.3937979737193$$
$$x_{35} = -7.85398163397448$$
$$x_{36} = -21.9911486312213$$
$$x_{37} = -81.6814090375457$$
$$x_{38} = 97.38937222667$$
$$x_{39} = -37.6991118769198$$
$$x_{40} = 15.7079634169143$$
$$x_{41} = -59.6902604573056$$
$$x_{42} = -6.28318516003462$$
$$x_{43} = 95.8185759344887$$
$$x_{44} = -80.1106126665397$$
$$x_{45} = -45.553093477052$$
$$x_{46} = 21.9911485851767$$
$$x_{47} = 75.3982236793524$$
$$x_{48} = -15.7079632963762$$
$$x_{49} = -89.5353906273091$$
$$x_{50} = 51.8362787842316$$
$$x_{51} = 9.42477806710815$$
$$x_{52} = -69.1150382393654$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = 73.8274273593601$$
$$x_{55} = 29.845130209103$$
$$x_{56} = -53.407075257786$$
$$x_{57} = -91.1061867632284$$
$$x_{58} = 59.6902605703693$$
$$x_{59} = -65.9734457652028$$
$$x_{60} = -50.2654823143599$$
$$x_{61} = 18.8495559220487$$
$$x_{62} = -29.845130209103$$
$$x_{63} = -23.5619449019235$$
$$x_{64} = -67.5442420521806$$
$$x_{65} = 50.2654819973737$$
$$x_{66} = -72.2566308917313$$
$$x_{67} = 100.530964781462$$
$$x_{68} = 81.6814091468681$$
$$x_{69} = 84.8230015887783$$
$$x_{70} = 28.2743338652459$$
$$x_{71} = 12.5663704724455$$
$$x_{72} = 9.42477801500462$$
$$x_{73} = 64.4026493985908$$
$$x_{74} = -78.5398162373076$$
$$x_{75} = -75.398223834204$$
$$x_{76} = 72.2566310277219$$
$$x_{77} = -73.8274273593601$$
$$x_{78} = -94.2477794692392$$
$$x_{79} = 40.8407044744738$$
$$x_{80} = 43.9822971001043$$
$$x_{81} = -207.34511550934$$
$$x_{82} = -51.8362787842316$$
$$x_{83} = 80.1106126665397$$
$$x_{84} = 7.85398163397448$$
$$x_{85} = 87.964594335453$$
$$x_{86} = 50.2654824463642$$
$$x_{87} = 43.9822971693493$$
$$x_{88} = -97.389372410446$$
$$x_{89} = 20.4203522483337$$
$$x_{90} = -36.1283155162826$$
$$x_{91} = 56.5486676266806$$
$$x_{92} = 34.5575190494922$$
$$x_{93} = -87.9645943590963$$
$$x_{94} = -65.9734453602046$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)*sin(x)^2.
$$\sin^{2}{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

        /   ___________\      /      /   ___________\\    /      /   ___________\\ 
        |  /       ___ |     2|      |  /       ___ ||    |      |  /       ___ || 
(-2*atan\\/  2 - \/ 3  /, sin \2*atan\\/  2 - \/ 3  //*cos\2*atan\\/  2 - \/ 3  //)

       /   ___________\      /      /   ___________\\    /      /   ___________\\ 
       |  /       ___ |     2|      |  /       ___ ||    |      |  /       ___ || 
(2*atan\\/  2 - \/ 3  /, sin \2*atan\\/  2 - \/ 3  //*cos\2*atan\\/  2 - \/ 3  //)

        /   ___________\      /      /   ___________\\    /      /   ___________\\ 
        |  /       ___ |     2|      |  /       ___ ||    |      |  /       ___ || 
(-2*atan\\/  2 + \/ 3  /, sin \2*atan\\/  2 + \/ 3  //*cos\2*atan\\/  2 + \/ 3  //)

       /   ___________\      /      /   ___________\\    /      /   ___________\\ 
       |  /       ___ |     2|      |  /       ___ ||    |      |  /       ___ || 
(2*atan\\/  2 + \/ 3  /, sin \2*atan\\/  2 + \/ 3  //*cos\2*atan\\/  2 + \/ 3  //)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \left(7 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)*sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График